Интегральное исчисление функций одной переменной (стр. 3 )

	0
	3				2				0

По этой таблице строим кривую (рис.2).

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой и лучами и , находится по формуле:

.

Так как фигура симметрична относительно полярной оси, то площадь ее будем искать следующим образом:

. #

Пример 19. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой

.

Ñ Кривая является астроидой и имеет вид (рис.3):

Из чертежа видно, что фигура симметрична относительно осей и , поэтому можно найти сначала 1/4 площади, а именно SAOB, а потом найденную площадь умножить на 3. Заметим, что кривая задана параметрически в декартовой системе координат. Площадь фигуры в этом случае вычисляется по формуле:

.

Перейдем к переменной t:

,

где .

В данной задаче a = 0; b = 2; ; . Найдем a и b.

Если .

Если .

.

Тогда площадь фигуры ABCD равна . #

Пример 20. Вычислить длину дуги кривой от точки (0; 0) до точки (4; 8).

Ñ Длина дуги кривой, заданной в декартовой системе координат, вычисляется по формуле:

.

Разрешим уравнение кривой относительно y:

.

. #

Пример 21. Вычислить длину дуги развертки окружности

от до.

Ñ Строим кривую по точкам, для чего составим таблицу значений t, x, y.

t	0
x	a								-a
y	0				a				a

Длина дуги кривой, заданной параметрически в декартовой системе координат уравнениями , вычисляется по формуле:

.

,

.

. #

Пример 22. Вычислить длину кривой от до .

Ñ Строим кривую по точкам, для чего составим таблицу значений:

	–	–	–	–	0
	0				а				2а

Длина дуги кривой, заданной в полярной системе координат уравнением , вычисляется по формуле: