Интегральное исчисление функций одной переменной (стр. 9 )

Пример 8. Разложить следующие функции в ряд Маклорена, используя стандартные разложения соответствующих функций в ряд Маклорена, указать область сходимости:

а) ; б) ; в) .

Ñ а) Для того, чтобы разложить в ряд Маклорена, т. е. по степеням x, используем стандартное разложение в ряд Маклорена функции :

.

В этом равенстве x заменим на 2x, получим:

или

. #

Ñ б) Чтобы получить разложение в ряд Маклорена, преобразуем эту функцию следующим образом:

Воспользуемся разложением в ряд Маклорена функции:

В этом равенстве заменим x на , получим:

. #

Ñ в) Чтобы разложить функцию в ряд Маклорена, преобразуем ее следующим образом:

Используем разложение в ряд Маклорена:

В этом равенстве положим , вместо x подставим :

или

,

. #

Пример 9. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировать его почленно.

Ñ Запишем разложение функции в ряд Маклорена:

Проинтегрируем почленно получившийся ряд от x = 0 до x = 1/2:

Получили знакочередующийся ряд. При замене суммы этого ряда суммой конечного числа его первых членов абсолютная величина ошибки не будет превосходить модуля первого из отброшенных членов ряда. Так как точность задана (0,001), то отыщем первый из членов ряда, абсолютная величина которого меньше 0,001.

;

< 0,001.

Следовательно, при вычислении интеграла с точностью до 0,001 берем три первых члена, а остальные, начиная с , отбрасываем. Итак,

.

Вычисления вели с одной запасной цифрой, а ответ даем с тремя знаками после запятой, округляя 0,4873 до 0,487 (см. точность).

Ответ: 0,487 #

Пример 10. Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y = y (x) дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию y (0) = 0.

Ñ Будем искать частное решение уравнения в виде ряда:

(2)

Непосредственно из уравнения найдем:

.

Дифференцируя последовательно обе части уравнения и полагая x = 0 в полученных равенствах, будем иметь:

,

.

Подставляя в ряд (2) найденные значения , получим:

. #

Пример 11. Записать вид ряда Фурье, формулы для вычисления коэффициентов Фурье и сумму соответствующего ряда Фурье для функции в интервале (–3; 3).

Ñ Построим заданную функцию на интервале (–3; 3) и продолжим её периодическим образом с периодом T = 2l = 6. Заметим, что

не является ни четной, ни нечетной, поэтому ряд Фурье для нее выглядит так:

~,

где ; ;

.

Так как в нашей задаче (–l, l) = (–3, 3), то ряд Фурье имеет вид:

~

Формулы для вычисления коэффициентов Фурье:

;

;

.

.

Полученный ряд Фурье будет сходится в точках непрерывности к самой функции, а в точках разрыва – к среднему арифметическому односторонних пределов в этой точке. Таким образом, сумма ряда Фурье равна 2 – x, если , x – 2, если и , если x = 2. #

Замечание: При вычислении коэффициентов Фурье учитывается, что .

Пример 12. Разложить функцию в ряд Фурье в интервале (–π; π).

Ñ Ряд Фурье для функции, заданной в интервале (–π; π), совпадает с рядом Фурье для периодической функции с периодом T = 2π, которая в интервале (–π; π) совпадает с заданной функцией. Сделаем чертеж этой периодической функции (рис.2).

По чертежу видно, что функция, которую мы собираемся разлагать в ряд Фурье, четная, следовательно, ряд Фурье имеет вид:

~, где

; .

.

Ряд Фурье выглядит так:

~.

Так как – функция непрерывная (см. рис.2), то сумма полученного ряда при равна 2 – x2. #

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

В задачах № 1-9 определить вид ряда, выбрать признак для исследования на сходимость и указать результат проведенного исследования.

1.; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ;

6. ; 7. ; 8. ; 9. .

10. Найти область сходимости функционального ряда .

11. Определить радиус сходимости степенного ряда .

12. Известно, что степенной ряд сходится в точке . Что можно сказать о сходимости ряда в точке ?

13. Известно, что степенной ряд расходится в точке . Что можно сказать о сходимости ряда в точке ?

14. Для функции найдите значение коэффициента разложения в ряд Тейлора по степеням .

15. Функция задана своим рядом Тейлора . Укажите значение .

16. Найдите значение коэффициента при в разложении функции в ряд Маклорена.

17. Найти четыре первых ненулевых члена разложения в ряд Маклорена решения дифференциального уравнения при заданных начальных условиях , .

18. Дана функция . Вычислить коэффициент разложения функции в ряд Фурье.

19. Дана функция . Вычислить коэффициент разложения функции в ряд Фурье.

ОТВЕТЫ

1-3. Знакоположительный. Признак сравнения. Сходится.

4. Знакоположительный. Признак сравнения. Расходится.

5. Знакоположительный. Признак Даламбера. Сходится.

6. Знакоположительный. Радикальный признак Коши. Сходится.

7. Знакочередующийся. Абсолютно сходится. 8. Знакочередующийся. Признак Лейбница. Сходится. 9. Знакопеременный. Абсолютно сходится. 10. 11. 3 12. ряд сходится (теорема Абеля) 13. ряд расходится (теорема Абеля) 14. 0 15. 16. 0 17. 18. 0 19. 0.