Интегральное исчисление функций одной переменной (стр. 8 )

8.  Условная и абсолютная сходимость числовых рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов.

2. Функциональные ряды. Степенные ряды

9.  Понятие функционального ряда. Точка сходимости, область сходимости функционального ряда.

10.  Понятие степенного ряда. Сходимость степенных рядов. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда, интервал сходимости, область сходимости.

11.  Свойства степенных рядов. Почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов.

12.  Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций: .

3. Некоторые приложения степенных рядов

13.  Некоторые приложения степенных рядов: приближенное вычисление с значений функции, приближенное вычисление определенного интеграла, приближенное решение дифференциальных уравнений.

4. Ряды Фурье. Интеграл Фурье

14.  Периодические функции, периодические процессы, понятие тригонометрического ряда Фурье.

15.  Теорема Дирихле. Ряд Фурье для функции с периодом 2p и 2l.

16.  Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.

17.  Комплексная форма ряда Фурье.

18.  Интеграл Фурье в действительной и комплексной формах. Его сходимость.

Таблица 1

Соответствие теоретических вопросов и задач контрольной работы

Тема	Теоретические вопросы	Образец решения задач	Задачи контрольной работы
Числовые ряды. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов	№№ 1– 5	№№ 1– 5	№№ 000–430
Понятие степенного ряда. Сходимость степенных рядов.	№№ 6 – 10	№№ 6 – 7	№№ 000– 440
Приложения степенных рядов	№№ 11 – 13	№№ 8 – 10	№№ 000– 460
Ряд Фурье для функции с периодом 2p и 2l. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций	№№ 14 – 18	№№ 11 – 12	№№ 000– 470

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Исследовать сходимость числового ряда .

Ñ Дан знакоположительный ряд. Общий член ряда представляет собой степенную функцию, поэтому здесь можно применить признак сравнения в непредельной форме. Сравним в непредельной форме данный ряд с рядом . Этот ряд называется обобщенным гармоническим ( при p £ 1 расходится, при p > 1 сходится), он сходится, так как .

Заметим, что Þ<. Но, так как ряд с большими членами сходится, то сходится и ряд с меньшими членами, следовательно, данный ряд сходится. #

Пример 2. Исследовать сходимость числового ряда .

Ñ Дан знакоположительный ряд. Исследуем сходимость этого ряда с помощью признака сравнения в предельной форме. Сравним данный ряд с гармоническим рядом , который расходится. Найдем предел отношения общих членов этих рядов при .

При нахождении предела воспользовались тем, что ~x при , а так как при , то ~. Так как предел получился конечный, не равный нулю, то ряды ведут себя одинаково, следовательно, данный ряд тоже расходится. #

Пример 3. Исследовать сходимость числового ряда .

Ñ Дан знакоположительный ряд, общий член которого содержит факториал и показательную функцию. Все это указывает на то, что исследовать этот ряд на сходимость нужно с помощью признака Д’Аламбера. Найдем предел отношения (n+1)-ого члена ряда к n-ому.

,

.

Так как предел меньше единицы, то ряд сходится. #

Замечание:

Пример 4. Исследовать сходимость числового ряда .

Ñ Дан знакоположительный ряд, применим к нему интегральный признак. Рассмотрим функцию .

1) f (x) при x = n равна ;

2) f (x) непрерывна при : f (x) имеет две точки разрыва x = 0 и x = 1, но они не принадлежат промежутку ;

3) f (x) > 0 при , т. к. x > 0 и ln x > 0 на этом промежутке;

4) f (x) убывает при , т. к. xlnx – функция возрастающая на этом промежутке.

Рассмотрим несобственный интеграл

.

Интеграл расходится, значит и данный ряд расходится. #

Пример 5. Исследовать сходимость ряда . Установить вид сходимости.

Ñ Дан знакочередующийся ряд. Применим к нему признак абсолютной сходимости, для чего составим ряд из абсолютных членов данного ряда:

(1)

К полученному знакоположительному ряду применим признак Коши. Найдем .

Так как предел меньше единицы, то ряд (1) сходится, следовательно, данный ряд сходится абсолютно. #

Пример 6. Исследовать сходимость ряда .

Ñ Дан знакочередующийся ряд с общим членом . Применим к нему признак Лейбница. Для этого необходимо проверить выполнение двух условий:

а)

б) .

Для данного ряда, общий член которого имеет вид , , .

а) , б) .

Оба условия признака Лейбница выполнены, значит данный ряд сходится. Дополнительно исследуем, как он сходится – условно или абсолютно. Для этого необходимо составить ряд из абсолютных величин членов данного ряда:

Это так называемый гармонический ряд, который расходится, следовательно, исходный ряд сходится условно. #

Пример 7. Найти интервал сходимости степенного ряда , где .

Ñ Интервал сходимости степенного ряда будет симметричным относительно x = 0, т. е. (– R; R), где R – радиус сходимости степенного ряда, который находится по формуле:

Для данного ряда , .

.

При нахождении предела воспользовались тем, что ~ при . Таким образом, интервал сходимости данного степенного ряда будет следующим: (–2; 2). #