Математический анализ (стр. 3 )

Таблица 7

№ темы	Устный опрос	Письменные работы	Итого количество баллов
ответ на семинаре	контрольная работа	реферат
Модуль 1
Тема 1.1.	0-2	0-8		0-10
Тема 1.2	0-7	0-13		0-20
Всего	0-9	0-21		0-30
Модуль 2
Тема 2.1.			0-10	0-10
Тема 2.2.	0-4	0-16		0-20
Всего	0-4	0-16	0-10	0-30
Модуль 3
Тема 3.1.	0-2	0-13	0-5	0-20
Тема 3.2.	0-2	0-13	0-5	0-20
Всего	0-4	0-26	0-10	0-40
Итого	0-17	0-63	0-20	0 – 100

3 СЕМЕСТР

Таблица 8

№ темы	Устный опрос	Письменные работы	Итого количество баллов
ответ на семинаре	контрольная работа	реферат
Модуль 1
Тема 1.1.	0-4	0-11		0-15
Тема 1.2	0-2	0-3		0-5
Тема 1.3	0-2	0-8		0-10
Всего	0-8	0-22		0-30
Модуль 2
Тема 2.1.	0-8	0-14	0-8	0-30
Всего	0-8	0-14	0-8	0-30
Модуль 3
Тема 3.1.	0-3	0-17		0-20
Тема 3.2.	0-3	0-12	0-5	0-20
Всего	0-6	0-29	0-5	0-40
Итого	0-22	0-65	0-13	0 – 100

5. Содержание дисциплины.

1 СЕМЕСТР

Модуль 1.

1.1. Элементы теории множеств. Множества и операции над ними. Логическая символика. Общие понятия о функциях. Эквивалентные множества. Счетные и несчетные множества. Мощность континуума. Аксиоматика множества вещественных чисел. Геометрическая интерпретация. Важнейшие теоремы о вещественных числах: о точных гранях, о предельных точках, о системе вложенных и стягивающихся отрезках, о конечном покрытии. Принцип Архимеда. Метод математической индукции. Бином Ньютона и неравенство Бернулли.

1.2. Последовательности. Общие понятия о последовательностях. Определение предела числовой последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства. Признак существования предела монотонной последовательности. Число «е». Подпоследовательности и частичные пределы. Принцип Больцано-Вейерштрасса о сходящейся подпоследовательности. Фундаментальные последовательности и критерий Коши.

1.3. Числовые функции. Числовые функции, характеристика общих свойств числовых функций. Обзор элементарных функций. Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне. Эквивалентность двух определений. Свойства функций, имеющих конечный предел. Предел монотонной функции. Критерий Коши существования предела функции. Предел композиции функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение функций. Отношения «О» и «о». Эквивалентные функции. Порядок бесконечно малой функции.

1.4. Непрерывность функции. Определение непрерывности функции в точке. Разрывы первого и второго рода. Локальные свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной функции. Непрерывность обратной функции. Непрерывность элементарных функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Равномерная непрерывность. Замечательные пределы и их следствия.

Модуль 2

2.1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Дифференцируемость функции в точке. Производная и дифференциал. Геометрический и механический смысл. Критерий дифференцируемости функций. Правила дифференцирования. Дифференцирование обратной функции и сложной функции. Инвариантность формы записи первого дифференциала. Дифференцирование элементарных функций и таблица производных. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно. Основные теоремы дифференциального исчисления (Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши). Правило Лопиталя вычисления предела функции. Формула Тейлора. Различные формы записи остаточного члена в формуле Тейлора. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора в приближенном вычислении значений функции.

2.2. Приложение дифференциального исчисления к исследованию свойств функций. Условия монотонности функции на промежутке. Локальные экстремумы функции. Достаточные условия локального экстремума в терминах первой производной, второй производной и высших производных. Глобальные экстремумы функции. Выпуклые функции. Точки перегиба. Достаточные условия выпуклости и перегиба. Асимптоты.

Модуль 3

3.1. Первообразная и неопределенный интеграл. Основные определения. Свойства неопределенного интеграла. Таблица первообразных основных элементарных функций. Формулы подстановки и интегрирования по частям..

3.2. Методы вычисления неопределенного интеграла. Интегрирование рациональных функций, некоторых иррациональных функций, тригонометрических и других трансцендентных функций

2 СЕМЕСТР

Модуль 1

1.1. Определенный интеграл. Определение интеграла Римана. Необходимое условие интегрируемости. Суммы Дарбу и их свойства. Основные теоремы об интеграле Римана. Критерий интегрируемости функций по Риману. Другие условия интегрируемости функции по Риману и их эквивалентность. Классы функций, интегрируемых по Риману. Свойства интегрируемых по Риману функций и интеграла Римана. Первая теорема о среднем. Интеграл с переменным верхним (нижним) пределом. Непрерывность и дифференцируемость. Формула Ньютона-Лейбница. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле. Вторая теорема о среднем. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме. Неравенства, содержащие интеграл.

1.2. Геометрические и физические приложения определенного интеграла. Кривые в многомерном пространстве. Длина дуги площадь плоской фигуры. Площадь поверхности. Физические приложения определенного интеграла. Центр тяжести. Статические моменты. Вычисление работы.

Модуль 2

2.1. Евклидово n-мерное пространство. Основные определения. Внутренние, внешние, граничные точки множества в метрическом пространстве. Лемма о последовательности стягивающихся шаров. Принцип сжимающих отображений. Непрерывные отображения метрических пространств. Понятия компакта. Компакты в Rn и полнота пространства Rn. Свойства непрерывных функций на компакте. Связные множества. Предел функции в Rn.

2.2. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Непрерывные, дифференцируемые функции в Rn. Частные производные. Дифференцирование сложной функции. Производные по направлению. Градиент. Геометрический смысл дифференциала функций двух переменных. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Приложение формулы Тейлора. Неявные функции.

Модуль 3

3.1.Экстремумы функции многих переменных. Локальный экстремум функции многих переменных. Условный экстремум функций многих переменных

3.2.Несобственные интегралы. Определение несобственных интегралов первого и второго рода. Основные свойства. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов. Достаточные условия сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Признаки Абеля и Дирихле. Интеграл в смысле главного значения.

3 СЕМЕСТР

Модуль 1

1.1. Числовые ряды. Основные понятия и определения. Основные свойства сходящихся рядов. Критерий Коши сходимости ряда. Ряды с неотрицательными членами. Основные признаки сходимости для рядов с неотрицательными членами. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Признаки Абеля и Дирихле. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов. Теорема Римана о перестановке членов ряда. Арифметические операции над сходящимися рядами.

1.2. Функциональные последовательности и ряды. Сходимость функциональной последовательности ряда. Равномерная сходимость. Критерий Коши равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов. Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов, (перестановка двух предельных переходов, непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость). Признаки равномерной сходимости Вейерштрасса, Абеля, Дирихле. Теорема Дини.

1.3. Степенные ряды. Теоремы Абеля. Радиус сходимости. Формула Коши - Адамара. Аналитические функции. Ряд Тейлора. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора. Асимптотические степенные ряды. Приложения рядов.