Математический анализ (стр. 8 )

Контрольная работа по теме «Ряды Фурье»

1) Разложить функцию в ряд Фурье

2) Представить функцию рядом Фурье в действительной и комплексной формах

3) Написать интеграл Фурье для функции в комплексной и действительной форах

Примерный вариант:

1) Разложить в ряд Фурье функцию . Построить графики функции и суммы ряда.

2) Представить функцию рядом Фурье в действительной и комплексной формах.

, ,

3) Написать интеграл Фурье для функции в комплексной и действительной форах. ; .

Контрольная работа по теме «Двойные интегралы»

1) Начертить область интегрирования, изменить порядок интегрирования.

2) Вычислить двойной интеграл

3) Найти центр тяжести одной фигуры, ограниченной данными линиями.

4) Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями.

5) Перейдя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл

Примерный вариант:

1) Начертить область интегрирования, изменить порядок интегрирования

2) Вычислить двойной интеграл

3) Найти центр тяжести одной фигуры, ограниченной данными линиями.

4) Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями.

5) Перейдя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл

Итоговая контрольная работа за 3 семестр

1) Разложить в ряд Маклорена и найти интервал сходимости функции

2) Исследовать на абсолютную или условную сходимость знакопеременный ряд

3) Разложить функцию в ряд Фурье

4) Вычислить криволинейный интеграл

5) Вычислить поверхностный интеграл

Примерный вариант:

1) Разложить в ряд Маклорена и найти интервал сходимости функции

2) Исследовать на абсолютную или условную сходимость знакопеременный ряд

3) Разложить на отрезке в ряд Фурье функцию

4) Вычислить криволинейный интеграл первого рода , где L – отрезок ОА и О(0,0), А(1,2)

5) Вычислить поверхностный интеграл первого рода , где s – часть плоскости при условии .

Вопросы к зачету

1 семестр

1.  Понятие множества. Операции над множествами. Числовые множества. Понятие переменной величины и функции (отображения).

2.  Действительные функции одной действительной переменной. Область определения. Сложная, обратная функция. Элементарная функция. Основные элементарные функции.

3.  Понятие окрестности. Предел функции в точке. Определение, графическая иллюстрация. Доказательство единственности предела.

4.  Доказательство ограниченности функции, имеющей конечный предел. Доказательство теоремы о сохранении знака функции, имеющей конечный предел.

5.  Бесконечно малые функции, их свойства (доказательство теорем о сумме и произведении бесконечно малых). Следствия. Теорема о связи бесконечно малой и функции, имеющей предел (формулировка).

6.  Бесконечно малые функции. Доказательство теоремы о связи бесконечно малой и функции, имеющей предел.

7.  Доказательство арифметических свойств пределов функций.

8.  Порядковые свойства предела. Доказательство леммы «о двух милиционерах». Предел сложной функции (доказать). Замена переменных в пределе.

9.  Первый замечательный предел (доказательство). Односторонние пределы. Бесконечно большие функции. Доказательство теоремы о связи бесконечно больших и бесконечно малых функций.

10.  Предел функции на бесконечности. Предел последовательности. Второй замечательный предел. Доказательство теоремы о пределе показательно-степенной функции.

11.  Непрерывность функции (три определения непрерывности). Свойства функций, непрерывных в точке (доказать). Классификация точек разрыва.

12.  Сравнение функций. Эквивалентные функции. Функции одного порядка. Понятие "о-малой", главной части. Доказательство теоремы о равенстве функции сумме эквивалентной функции и бесконечно малой.

13.  Сравнение функций. Основные определения. Доказательство теоремы о применении эквивалентных при вычислении пределов (случай суммы, произведения, частного).

14.  Доказательство основных эквивалентностей. Свойства функций, непрерывных на отрезке – сформулировать и проиллюстрировать 4 теоремы.

15.  Производная функции в точке. Геометрический смысл. Доказательство теоремы о непрерывности функции, имеющей производную.

16.  Производная функции в точке. Доказательство правил дифференцирования (случай суммы, произведения, частного).

17.  Производная сложной и обратной функции (доказательства). Производная параметрически заданной функции.

18.  Вывод формул таблицы производных. Производная показательно-степенной функции. Логарифмическое дифференцирование.

19.  Производные высших порядков. Дифференцируемость функции. Доказательство теоремы о дифференцируемости функции. Дифференциал.

20.  Приближенное вычисление значений функции. Свойства дифференциала. Инвариантность формы дифференциала. Дифференциалы высших порядков.

21.  Теорема Ролля (доказательство). Существенность условий теоремы Ролля.

22.  Доказательство теоремы Лагранжа. Теорема Коши.

23.  Правило Лопиталя-Бернулли (доказательство).

24.  Доказательство обобщенной теоремы Ролля.

25.  Вывод формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, Пеано. Применение формулы Тейлора в вычислениях с заданной точностью.

26.  Формулы Маклорена для основных элементарных функций (вывести для любых двух).

27.  Монотонность, экстремумы. Необходимое и достаточные (с доказательствами) условия экстремума.

28.  Исследование поведения функции. Доказательство теоремы о выпуклости, вогнутости графика функции. Асимптоты, вывод формул для нахождения наклонных асимптот.

29.  Первообразная, неопределённый интеграл и его свойства (с доказательством). Доказательство инвариантности интеграла.

30.  Вывод формул таблицы интегралов. Интегрирование квадратного трехчлена.

31.  Интегрирование по частям, циклическое интегрирование(на примере), замена переменной. Неберущиеся интегралы.

32.  Разложение рациональной дроби на целую часть и сумму простейших дробей.

33.  Интегрирование простейших дробей (доказательство для I-III, для IV – идея доказательства и применения).

34.  Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая подстановка.

35.  Интегрирование иррациональных функций. Интегрирование дифференциального бинома.

2 семестр

1.  Понятие интегральной суммы и определённого интеграла. Геометрический и механический смысл. Теорема существования определенного интеграла.

2.  Свойства определённого интеграла (с доказательствами).

3.  Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о производной интеграла с переменным верхним пределом (доказательство). Формула Ньютона-Лейбница (вывод). Формулы интегрирования по частям и замены переменной для определённого интеграла.

4.  Площадь криволинейной трапеции для функции, заданной явно, параметрически, в полярных координатах.

5.  Объём тела с известной площадью поперечного сечения. Объем тела вращения для функции, заданной явно, параметрически, в полярных координатах..

6.  Длина дуги кривой для функции, заданной явно, параметрически, в полярных координатах. Дифференциал длины дуги. Площадь поверхности вращения.

7.  Несобственный интеграл I рода: определение, свойства, признаки сходимости.

8.  Несобственный интеграл II рода: определение, свойства, признаки сходимости.

9.  Определение функций нескольких переменных. Линии и поверхности уровня. Понятие окрестности и области на плоскости.

10.  Предел функции двух переменных. Непрерывность функции двух переменных. Свойства функций, непрерывных в замкнутой ограниченной области.

11.  Частные производные. Геометрический и физический смысл.

12.  Полный дифференциал функции нескольких переменных. Необходимое (доказать) и достаточное условие дифференцируемости функции.

13.  Производные и дифференциал сложной функции (доказать теорему о производной сложной функции). Дифференциал сложной функции.