Математический анализ (стр. 4 )

Модуль 2

2.1. Ряды и интегралы Фурье. Фурье по тригонометрической системе функций. Принцип локализации. Основная теорема о сходимости ряда Фурье в точке (условие Дини). Признак Липшица. Суммирование рядов Фурье методом Чезаро-Фейера. Равномерная аппроксимация в среднем непрерывных функций. Теоремы Вейерштрасса. Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Полнота и замкнутость тригонометрической системы функций. Связь между степенью гладкости функции и скоростью сходимости ее тригонометрического ряда Фурье. Дифференцирование, интегрирование рядов Фурье. Комплексная форма записи тригонометрического ряда Фурье. Ортогональные системы функций. Ряды Фурье по ортогональным системам. Интегралы Фурье. Понятие о преобразовании Фурье.

Модуль 3

3.1.Кратные интегралы. Объем в n-мерном пространстве. Множества меры нуль. Разбиение измеримых множеств. Интегральные суммы. Определение кратного интеграла. Существование кратного интеграла. Свойства кратных интегралов. Сведение двойного интеграла к повторному. Сведение интеграла произвольной кратности к повторному. Независимость меры от выбора системы координат. Замена переменных в кратных интегралах. Криволинейные координаты. Геометрические и механические приложения кратных интегралов.

3.2.Криволинейные и поверхностные интегралы. Криволинейные интегралы первого и второго рода. Свойства, вычисление. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Приложения. Формула Грина. Вычисление площади плоской фигуры с помощью формулы Грина. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Интегрирование полных дифференциалов. Поверхностные интегралы. Понятие поверхности. Способы задания поверхности. Первая квадратичная форма поверхности. Сторона и ориентация поверхности. Понятие площади поверхности. Пример Шварца. Квадрируемость гладких поверхностей. Определение поверхностных интегралов первого и второго рода. Свойства, вычисление. Приложения. Формула Гаусса-Остроградского и ее приложения к исследованию поверхностных интегралов. Формула Стокса и ее приложения к исследованию криволинейных интегралов. Скалярные поля. Градиент. Оператор Гамильтона. Векторные поля. Дивергенция. Поток векторного поля. Циркуляция. Соленоидальное и потенциальное векторные поля.

6. Планы семинарских занятий.

1 СЕМЕСТР

Модуль 1.

Тема 1.1. Элементы теории множеств

1. Элементы теории множеств. Операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение. Метод математической индукции. Нахождение граней числовых множеств.

Тема 1.2. Последовательности

1. Последовательности. Определение общего члена последовательности. Определение свойств последовательности. Предел последовательности.

2. Предел последовательности. Эквивалентные последовательности.

Тема 1.3. Числовые функции

1. Элементарные функции: области определения, значений, графики. Построение графиков функций с помощью преобразований. Основные свойства функций: четность, ограниченность, периодичность. Обратные функции. Сложные функции.

2. Предел функции в бесконечности. Предел степенно показательной функции, определяемый через второй замечательный предел.

3. Бесконечно большие и малые функции. Замена бесконечно малых функций на эквивалентные. Односторонние пределы.

Тема 1.4. Непрерывность функции

1. Исследование элементарный функций на непрерывность. Исследование кусочно-заданных функций на непрерывность.

2. Свойства функций, непрерывных на отрезке (первая и вторая теоремы Вейерштрасса, теорема Коши).

Модуль 2

Тема 2.1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Таблица производных. Основные методы дифференцирования функций одного переменного.

2. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно. Правило Лопиталя вычисления предела функции. Формула Тейлора. Применение формулы Тейлора в приближенном вычислении значений функции.

Тема 2.2. Приложение дифференциального исчисления к исследованию свойств функций.

1. Исследование функций на монотонность и локальные экстремумы. Определение глобальных экстремумов функции. Исследование функции на выпуклость и точки перегиба.

2.  Определение асимптот функции. Полное исследование функций, построение графика функции на основе результатов полного исследования.

Модуль 3

Тема 3.1. Первообразная и неопределенный интеграл.

1. Основные определения. Свойства неопределенного интеграла. Таблица первообразных основных элементарных функций.

Тема 3.2. Методы вычисления неопределенного интеграла.

1. Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица интегралов. Интегрирование методом замены и методом подведения функции под знак дифференциала.

2. Интегрирование функций по частям.

3. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе.

4. Разложение дроби на простейшие. Интегрирование рациональных функций.

5. Интегрирование тригонометрических и иррациональных функций.

2 СЕМЕСТР

Модуль 1

Тема 1.1. Определенный интеграл.

1. Интеграл с переменным верхним (нижним) пределом. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.

2-3. Формула Ньютона-Лейбница. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле.

Тема 1.2. Геометрические и физические приложения определенного интеграла.

1-3. Кривые в многомерном пространстве. Длина дуги площадь плоской фигуры. Площадь поверхности.

4-5. Физические приложения определенного интеграла. Центр тяжести. Статические моменты. Вычисление работы.

Модуль 2

Тема 2.1. Евклидово n-мерное пространство.

1.  Внутренние, внешние, граничные точки множества в метрическом пространстве. Предел функции в Rn.

Тема 2.2. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

1. Частные производные. Дифференцирование сложной функции.

2. Производные по направлению. Градиент. Частные производные и дифференциалы высших порядков.

3. Формула Тейлора. Приложение формулы Тейлора. Неявные функции.

Модуль 3

Тема 3.1.Экстремумы функции многих переменных.

1. Локальный экстремум функции многих переменных.

2. Условный экстремум функций многих переменных.

3. Наибольшее и наименьшее значения функций многих переменных в замкнутой области.

Тема 3.2.Несобственные интегралы.

1. Несобственные интегралы первого и второго рода.

2. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов. Достаточные условия сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов

3. Признаки Абеля и Дирихле. Интеграл в смысле главного значения.

3 СЕМЕСТР

Модуль 1

Тема 1.1. Числовые ряды.

1. Критерий Коши сходимости ряда. Ряды с неотрицательными членами.

2. Основные признаки сходимости для рядов с неотрицательными членами.

3. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость.

4. . Признаки Абеля и Дирихле.

Тема 1.2. Функциональные последовательности и ряды.

1. Сходимость функциональной последовательности ряда. Равномерная сходимость. Критерий Коши равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов. Признаки равномерной сходимости Вейерштрасса, Абеля, Дирихле.

Тема 1.3. Степенные ряды.

1. Радиус сходимости. Формула Коши - Адамара.

2. Ряд Тейлора. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора

3. Асимптотические степенные ряды. Приложения рядов.

Модуль 2

Тема 2.1. Ряды и интегралы Фурье.

1. Ряды Фурье по тригонометрической системе функций.

2. Суммирование рядов Фурье методом Чезаро-Фейера. Дифференцирование, интегрирование рядов Фурье. Комплексная форма записи тригонометрического ряда Фурье.

3.  Ряды Фурье по ортогональным системам. Понятие о преобразовании Фурье.

4. Интегралы Фурье.

Модуль 3

Тема 3.1.Кратные интегралы.

1. Сведение двойного интеграла к повторному. Сведение интеграла произвольной кратности к повторному.

2. Замена переменных в кратных интегралах. Криволинейные координаты

3. Геометрические и механические приложения кратных интегралов

Тема 3.2.Криволинейные и поверхностные интегралы.

1. Криволинейные интегралы первого и второго рода: свойства, вычисление. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Приложения. Формула Грина. Вычисление площади плоской фигуры с помощью формулы Грина

2. Поверхностные интегралы первого и второго рода: свойства, вычисление. Формула Гаусса-Остроградского и ее приложения к исследованию поверхностных интегралов. Формула Стокса и ее приложения к исследованию криволинейных интегралов

3. Скалярные поля. Градиент. Оператор Гамильтона. Векторные поля. Дивергенция. Поток векторного поля. Циркуляция. Соленоидальное и потенциальное векторные поля

7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).

Не предусмотрены учебным планом ОП.

8. Примерная тематика курсовых работ

Не предусмотрены учебным планом ОП.

9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы студентов.

1СЕМЕСТР

Таблица 9

№	Модули и темы	Виды СРС	Неделя семестра	Объем часов	Кол-во баллов
обязательные	дополнительные
Модуль 1
1.1	Элементы теории множеств.	Подготовка к устному опросу по теме. Выполнение домашних заданий. Подготовка к контрольной работе.		1	2	0-5
1.2	Последовательности.	Выполнение домашних заданий. Подготовка к контрольной работе.		2-3	4	0-5
1.3	Числовые функции.	Подготовка к устному опросу по теме. Выполнение домашних заданий. Подготовка к контрольной работе.	Написание и защита реферата	4-6	6	0-10
1.4	Непрерывность функции.	Подготовка к устному опросу по теме. Выполнение домашних заданий. Подготовка к контрольной работе.		7-8	4	0-10
	Всего по модулю 1:		16	0-30
Модуль 2
2.1	Дифференциальное исчисление функций одной переменной.	Подготовка к устному опросу по теме. Выполнение домашних заданий. Подготовка к контрольной работе.		9-10	4	0-15
2.2	Приложение дифференциального исчисления к исследованию свойств функций	Подготовка к устному опросу по теме. Выполнение домашних заданий. Подготовка к контрольной работе.		11-12	4	0-15
	Всего по модулю 2:		8	0-30
Модуль 3
3.1	Первообразная и неопределенный интеграл.	Подготовка к устному опросу по теме. Выполнение домашних заданий. Подготовка к контрольной работе.	Написание и защита реферата	13-14	8	0-10
3.2	Методы вычисления неопределенного интеграла.	Подготовка к устному опросу по теме. Выполнение домашних заданий. Подготовка к контрольной работе.		15-18	7,4	0-30
	Всего по модулю 3:	9,4	0-40
	Иные виды работ	2,6
	ИТОГО:	36	0-100

3 СЕМЕСТР