Первое слагаемое правой части есть удвоенную работа, которая идет на изменение единичного объема тела, второе выражение есть удвоенная работа формоизменения.

Следовательно, получаем результаты:

1)  Работа компонентов шарового тензора напряжений на компонентах шарового тензора деформаций является удвоенной упругой работой внутренних сил, которая идет на изменение объема, то есть:

(2.14)

2)  Работа компонентов девиатора напряжений на компонентах девиатора деформаций является удвоенной работой внутренних сил, которая идет на изменение формы:

(2.15)

Второй инвариант девиатора напряжений равен упругой работе внутренних сил, которая идет на изменение формы элемента:

(2.16)

Интенсивность напряжений и интенсивность деформаций представляют приведенное напряжение и приведенную деформацию:

(2.17)

(2.18)

Когда появляются остаточные деформации, закон Гука теряет силу. Условие пластичности – это условие, при котором в некоторой точке тела должны удовлетворять напряжения, чтобы в ней появились первые остаточные деформации.

Условие пластичности в общем виде:

(2.19)

где - главные напряжения и - некоторая функция.

Условие пластичности записывается как:

(2.20)

где - предел текучести при растяжении.

Теория пластичности Мизеса.

Введем параметр и интегрально-дифференциальный оператор обозначим через , тогда.:

(2.21)

Если добавим скалярные соотношения, сделаем частные предположения о коэффициентах , отбросим различные слагаемые в (2.21) , то мы получим разные теории пластичности.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Если сохранить и не равными нулю, которые выбираются такими, чтобы были направляющими тензорами напряжений и скоростей деформаций, то получим теория Мизеса:

Принимаем условие пластичности Мизеса и условие несжимаемости материала:

(2.22)

Связь между напряжениями и скоростями деформаций в скалярном виде выглядит следующим образом:

(2.33)

Законы активной упруго-пластической деформации и разгрузки.

Активная деформация элемента – это деформация тела в данный момент, при которой интенсивность напряжений имеет такое значение, которое превышает все предыдущие значения. Пассивная деформация элемента – это деформация, при которой интенсивность напряжений меньше хотя бы одного предыдущего значения. Пластическая деформация в случае активной деформации элемента возрастает за пределами упругости. А в случае пассивной деформации пластическая деформация остается постоянной. Активная деформация также называется нагружением, а пассивная – разгрузкой.

Объемное напряжение элемента тела, которое подчиняется закону Гука, при активной и пассивной деформациях является упругим:

(2.34)

Направляющие тензоры напряжений и деформаций равны:

(2.35)

Произведем замену:

Тогда

(2.36)

Можно сформулировать закон равенства направляющих тензоров как: главные оси напряжений и деформаций совпадают, и отношения главных касательных напряжений к соответствующим главным сдвигам для данного элемента тела являются постоянными:

(2.37)

Интенсивность напряжений записывается в следующем виде:

(2.38)

Интенсивность деформаций записывается как:

(2.39)

Считая, что выражена через , тогда можно положить, что уравнения (2.34) и (2.36) определяют полную зависимость между напряжениями и деформациями, тогда получим:

(2.40)

Выразим деформации через напряжения, заменив и разрешив (2.36) относительно деформаций, получим:


(2.41)

Общая деформация элемента состоит из упругой и пластической деформаций. Приписываем компонентам упругой деформации индекс , а компонентам пластической – индекс :

(2.42)

По закону Гука компоненты упругой деформации выражаются через напряжения:

(2.43)

Где - коэффициент Пуассона, - модуль Юнга.

Формулы для пластических деформаций запишутся в следующем виде:

(2.44)

где функция .

Интенсивность пластических деформаций выглядят как:

(2.45)

Принимаем во внимание (2.38), в формулу (2.45) подставить значения деформаций согласно (2.43), получим:

(2.46)

Таким же образом согласно (2.44) для пластических деформаций получим:

(2.47)

Складывая (2.46) и (2.47), получим результат:

(2.48)

то есть сумма интенсивностей упругих и пластических деформаций равна интенсивности полной деформации.

Работа напряжений и потенциальная энергия; потенциалы.

Работа, которая совершается при переходе элемента тела единичного объема из недеформированного состояния в деформированное является работой напряжений и определяется, как сумма элементарных работ в промежуточных состояниях:

(2.49)

Подинтегральное выражение в (2.49) является полным дифференциалом, то есть зависит только от начального и конечного состояний.

(2.50)

Поскольку и , то полный дифференциал, то:

(2.51)

Отсюда следует, что функция , которая представляет работу внутренних сил, одновременно является потенциалом напряжений:

(2.52)

Потенциальной энергией единичного элемента тела - это часть работы , которая будет возвращена элементом при полной разгрузке.

(2.53)

Необратимая часть работы внутренних сил записывается в следующем виде:

(2.54)

Полная работа деформаций всего тела обозначается и представляет сумму работ всех элементов:

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6