Рассчет физически и геометрически нелинейных сред методом конечных элементов (стр. 5 )

и тензор деформаций, который определяется ими, называется модифицированным тензором приращения деформаций Грина и записывается как:

(3.3)

У данного тензора вариация записывается следующим образом:

(3.4)

Первые два слагаемых определяют вариацию тензора линейных деформаций в текущем базисе

(3.5)

а два последних – вариацию тензора нелинейных компонент деформаций:

(3.6)

Следовательно

(3.7)

Здесь уравнение виртуальных работ для ()-го состояния используется как базовое разрешающее уравнение, которое записано в базисе текущей конфигурации:

(3.8)

Это уравнение после линеаризации левой части запишется как:

(3.9)

Аналогичное линеаризованное уравнение для глобальной лагранжевой постановки структурно совпадает с уравнением (3.9), где этот же смысл имеет слагаемое в фигурных скобках.

По данной методике простейшие схемы решения физически нелинейных задач основываются на предположении, что тензор является тензором истинных напряжений и для него формулируются физические соотношения. Так же следует принять, что тензор приращений напряжений является скоростью этих напряжений.

Упругопластический материал.

Рассмотрим изотропную упругопластическую среду без упрочнения.

(3.10)

Здесь параметр определяет наличие или отсутствие пластического деформирования. При упругом деформировании, то есть если его нет параметр равен нулю, а при упругопластическом – единице.

В разрешающее уравнение (3.9) подставим это выражение, для левой части получим:

(3.11)

Оператор, который определяется этим интегралом – линейный, поэтому уравнение получается тоже линейным после дискретизации. Вектор перемещений является результатом решения уравнения (13.11). После того как он определится вычислим конфигурацию следующего состояния:

(3.12)

Чтобы определить напряженное состояние, вычислим следующие тензоры: градиента приращения перемещений (3.2), приращения деформаций (3.3) и приращения напряжений (3.10). Суммарный тензор напряжения является 2-м тензором напряжений Пиолы-Кирхгофа, поэтому чтобы найти истинный тензор напряжений Коши-Эйлера необходимо вычислить тензор градиента приращения деформаций:

(3.13)

и его определитель:

(3.14)

Получим:

(3.15)

Данная схема вычислений может быть уточнена итерационной процедурой на каждом шаге нагружения, которая учитывала бы ошибки от линеаризации, как геометрии, так и физики процесса.

4.Контактная задача.

Контактные задачи имеют большое практическое значение, в них рассматривается контактное взаимодействие тел. Они используются тогда, когда нужно исследовать процесс деформирования составных конструкций, при качении колеса по рельсу, при ударных взаимодействиях тел, по дороге. При статическом или динамическом контакте контактное взаимодействие используется в прочностных расчѐтах вязкоупругих, упругих и пластичных тел. Контактное взаимодействие используется так же в фланцевых, шарнирных соединениях, при разных технологических операциях обработки – резании, штамповки, бурении нефтяных и газовых скважин, в шарико - и ролико-подшипниках, опорных частях мостовых пролетных строений, фундаментах под сооружениями, зубчатых колесах и так далее.

Наличие на части поверхности упругого тела контакта с другим телом, абсолютно жестким или упругим является основным свойством контактных задач. На поверхности контакта тел граничные условия становятся специфическими. Результатом взаимодействия рассматриваемого тела с примыкающими к нему телами являются поверхностные силы. Когда взаимодействуют твердые тела, их точки контакта (точки соприкосновения) в области контакта перемещаются одинаково, или если соприкасаются, то проскальзывают одна относительно другой. Так как неизвестны ни перемещения точек этой поверхности, ни напряжения по поверхности контакта, то граничные условия осложняются для каждого контактного тела.

Классифицируются контактные задачи по следующим признакам:

по признаку размерности:

- плоские;

- пространственные (осесимметричные);

по признаку физических свойств контактирующих тел:

- контакт абсолютно жесткого и деформируемого (упругого) тела;

- контакт двух деформируемых тел;

по признаку размеров контактной площадки:

- площадка контакта сохраняет свои размеры и форму в процессе роста силы;

- площадка контакта увеличивается с ростом силы;

- площадка контакта увеличивается с ростом силы до некоторого предела, после которого сохраняет свои размеры и форму;

по условиям взаимодействия контактирующих тел на площадке контакта:

- силы трения отсутствуют на всей поверхности контакта;

- наличие полного сцепления тел на поверхности контакта;

- наличие тангенциальных сил взаимодействия на части площадки контакта, величина которых меньше произведения нормального давления на коэффициент трения; а на остальной части площадки контакта - наличие тангенциальных сил трения, равных произведению нормального давления на коэффициент трения. С ростом сил изменяется граница между участками контактной поверхности.

Давление жесткого штампа на упругое полупространство.

Рисунок 2:Контакт между твердым цилиндрическим штампом и упругим полупространством.

В ходе решения для точек площадки контакта находим напряжения или перемещения как заранее неизвестные сложные функции нагрузки, формы и материала контактных тел.

Давление распределяется следующим образом, если твердый цилиндр радиусом вдавливается в упругое полупространство:

Связь между глубиной проникновения и нормальной силой определяется как:

где , и - модули упругости, и – коэффициенты Пуассона обоих тел.

Одним из алгоритмов расчета контактных задач является расширенный метод Лагранжа. Этот метод является одним из алгоритмов в классе методов условной оптимизации, в котором находится решение, при котором исходную задачу заменяют условной последовательностью неограниченных подзадач. Также он известен как метод множителей, расширенный метод Лагранжа представляет явные оценки множителей Лагранжа на каждом шаге.

Алгоритм расширенного метода Лагранжа основан на последовательной минимизации функции по, с обновлениями λ. Алгоритм расширенного метода Лагранжа ограниченной задачи оптимизации вычисляет в качестве приближенной минимизирующей подзадачи

где

включает в себя только ограничения равенства. Обновление множителей обычно принимает форму

Этот подход является относительно легко осуществимым, так как главной вычислительной операцией на каждой итерации является минимизация гладкой функции по при условии их связанных ограничений.

5.Описание элементов используемых для решения задачи в программе ANSYS.

PLANE183 – двумерный элемент объемного НДС с восемью узлами.

Элемент PLANE183 является восьмиузловым двухмерным элементом. Он имеет квадратичное представление перемещений и с его помощью можно моделировать нерегулярные сетки.

Восемь узлов в этом элементе имеют две степени свободы в каждом узле: перемещения в направлении осей X и Y узловой системы координат. Данный элемент может применятся для моделирования осесимметричного напряженного состояния или для моделирования плоского деформированного состояния, плоского напряженного состояния и обобщенного плоского деформированного состояния. Элемент имеет свойства гиперупругости, пластичности, ползучести, увеличения жесткости при наличии нагрузок, больших деформаций и больших перемещений.