(2.55)
Где 
- элемент объема тела, 
- его объем, и интегрирование ведется по первоначальному объему тела, предполагая, что внешняя форма тела как будто неизменна.
Потенциальная энергия тела согласно (2.53) записывается как:
(2.56)
а оставшаяся потенциальная энергия как:
(2.57)
Постановка задачи теории пластичности, вариационное уравнение и уравнение равновесия.
Дано тело, которое ориентировано в прямоугольной системе координат:
Оно в некоторый момент времени находится под действием заданных сил: поверхностных 
и массовых сил 
. Упругие характеристики тела, кривая 
и изложенные выше законы определяют механические свойства тела. Необходимо найти напряжения и деформации в теле.
Воспользуемся вариационным уравнением равновесия Лагранжа, в случае движения к массовым силам будем добавлять силы инерции. Пусть:
(2.58)
под действием заданной системы сил являются компонентами перемещений произвольной точки тела. Всякая изохронная вариация 
, которая совместима со связями, наложенными на тело и его части называется виртуальным или возможным перемещением. Вариации деформаций и скоростей определяются как:
Знаки дифференцирования и варьирования можно менять местами:
Пусть функция 
выражается через деформации 
и 
следовательно через 
. Вариационный принцип равновесия Лагранжа: вариация работы внутренних сил при виртуальных перемещениях частиц тела равна работе внешних сил и сил инерции на вариациях перемещений:
(2.59)
Первый интеграл в правой части распространен по объему, второй – по поверхности тела. Уравнение (2.59) называется вариационным уравнением равновесия.
Вариация 
:
Путем круговой перестановки 
и 
из предыдущих скобок получаются скобки, в которых присутствуют многоточия. Собирая все множители при вариациях 
в уравнении (2.59) получим:
(2.60)
Вариации перемещения любой точки тела должны быть непрерывны и совершенно независимы, следовательно, равенство (2.60) возможно, только если все коэффициенты при вариациях равны нулю. Тогда уравнения равновесия записываются как:
(2.61)
Граничные условия выглядят следующим образом:
(2.62)
Для решения задач пластичности этих уравнений достаточно, и их нужно понимать как уравнения равновесия в перемещениях, так как предполагается, что напряжения выражены через компоненты перемещения 
на основании формул Коши и через деформации.
Если рассматривать систему (2.61) как уравнения равновесия в напряжениях, то ее не достаточно для определения напряжений, и к ней нужно добавлять еще условия совместности деформаций, которые получаются как:
(2.63)
Сформулировать три основные постановки задачи теории пластичности при активном нагружении:
1) для произвольных непрерывных с непрерывными прозводными вариаций 
нужно найти три функции: 
, чтобы имело место вариационное уравнение равновесия (2.60). Для решения задачи в таком случае можно использовать метод Ритца: подбирается полная система функций 
для области, которая занята телом, и перемещения представляются рядами:
(2.64)
Вариации перемещений записываются как:
Работа внутренних сил:
И ее вариация:
Найдем формулы типа (2.65) , сравним коэффициенты при вариациях 
левой и правой частей уравнения (2.59):
(2.65)
Сколько неизвестных 
входит в выражения 
столько же будет формул.
2) Нужно найти три функции , которые удовлетворяют дифференциальным уравнениям (2.61) и условиям на границе (2.62). Если система дифференциальных уравнений (2.61) будет эллиптического типа, то данная задача может иметь решение при произвольных внешних силах. Условия разрешимости системы (2.65) тождественно совпадают с указанными требованиями.
3) Нужно найти шесть компонентов напряжений 
, которые удовлетворяют уравнениям равновесия (2.61) в напряжениях и условиям совместности деформаций, при этом на границе тела они должны удовлетворять условиям (2.62).
Эта задача имеет единственное решение. Пусть при одинаковых внешних силах и одинаковых значениях перемещений на границе тела 
и 
- два разных решения системы (2.62). Обозначим 
разности соответствующих значений, так что внутри напряжения 
без массовых сил удовлетворяют уравнениям (2.61), а на границе тела 
.
Умножим эти уравнения на 
соответственно, сложим и проинтегрируем по объему тела, тогда получим:
Используя формулы Грина, получим:
Используя выражения напряжений через деформации и заменяя 
получим:
Из неравенства Шварца получим:
Следовательно:
.
3.Метод последовательных нагружений в текущей конфигурации.
Основные положения
Рисунок 1
Для того чтобы решить задачи статики деформируемых тел используется классическая лагранжевая постановка, в ней рассматривается текущая конфигурация (рис. 4). Разберем метод последовательных нагружений, который называется модифицированной инкрементальной постановкой (update Lagrangian form).
Пусть известными в 
-ом состоянии являются:
- конфигурация
(3.1)
- тензор напряжений Коши-Эйлера 
;
- другие параметры процесса.
Перемещения и напряжения так же получают приращения 
, 
под действием приращений внешних массовых и поверхностных сил 
, 
. Введен здесь тензор приращения напряжений Трусделла или модифицированный тензор приращения напряжений Кирхгофа .
Рассмотрим тензор деформации Грина. Он определяется в текущем базисе приращениями перемещений , то есть тензоры градиента приращения перемещений можно записать в виде:
(3.2)
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 |
