МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Казанский (Приволжский) федеральный университет»

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИМ. Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО

КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Направление: 010800.68 – механика и математическое моделирование

Специализация: механика твердого деформируемого тела

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

МАГИСТЕРСКАЯ ДИССЕРТАЦИЯ

РАССЧЕТ ФИЗИЧЕСКИ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕД МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Работа завершена:

«____»___________2015 г. ()

Работа допущена к защите:

Научный руководитель

Кандидат физико-математических наук, доцент

"___"_________ 2015 г. ________________ ()

Заведующий кафедрой

доктор физико-математических наук, профессор

"___"_________ 2015 г. _________________ ()

Казань- 2015

Содержание.

Введение

1)  Метод конечных элементов

2)  Основные законы упруго-пластических деформаций

3)Метод последовательных нагружений в текущей конфигурации

4)Контактная задача

5)Описание элементов используемых для решения задачи в программе ANSYS

6)Постановка задачи

7)Решение задачи

8)Численные результаты

9)Заключение

Список литературы

Введение

В настоящее время инженерам и исследователям приходится сталкиваться со многими задачами, которые требуют больших затрат на эксперименты или которые не возможно решить аналитически. Существующие пакеты программ систем автоматизированного проектирования, существенно расширяющие круг задач, которые доступны анализу. Результаты, которые получены с помощью этих методов широко применяются во многих областях науки и техники.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Метод конечных элементов (МКЭ) является самым популярным способом исследования поведения конструкций при разнообразных воздействиях на нее.

Использование МКЭ для нелинейных и динамических задач помогает моделировать сложные процессы, например, штамповка, удар, разрушение, вытяжка, потеря устойчивости и т. п. Пакет прикладных программ ANSYS, который использует МКЭ, широко используется инженерами, занимающиеся решением задач прочности.

МКЭ в ANSYS позволяет решать задачи как статического, так и динамического напряженно-деформированного состояния конструкций, а так же физически и геометрически нелинейных задач, что позволяет проводить расчеты для широкого спектра инженерных задач.

Так же в настоящее время актуальной является механика контактного взаимодействия твердых деформируемых тел. Все конструкции и механизмы состоят из деталей, которые взаимодействуют друг с другом, а то, как между ними распределены контактные усилия, не известны заранее, которые в свою очередь находятся в результате решения контактных задач. Закон изменения контактного давления по области контакта помогает определить на поверхностях тел граничные условия в напряжениях и решать внутри тел, которые взаимодействуют друг с другом, более простые задачи по определению напряженно-деформированного состояния.

Современные возможности пакета прикладных программ ANSYS позволяют рассчитывать и исследовать большой круг контактных взаимодействий: как расчет простых 2D задач, так и расчет сложных трехмерных задач с различными силовыми нагружениями и нелинейных моделей трения.

1.Метод конечных элементов

Для того чтобы рассчитать сложные конструкции матричными методами используют метод конечных элементов. Он широко используется при расчете стержневых систем задач механики сплошной среды. В строительной механике и МКЭ методология классических методов сводится к разбиению конструкции на отдельные части более простой структуры, у которых механическое поведение можно легко описать, а затем с помощью условий сплошности и равновесия снова объединеним их в единую конструкцию. Специфическая форма метода Ритца, которая используется для приближенного решения задач механики деформируемого твердого тела, так же может интерпретироваться как МКЭ. В данной работе будем использовать вариационную постановку задач МКЭ: или как задачи минимизации функционала энергии, или как решение вариационных уравнений равновесия.

Вариационная постановка задач теории упругости.

Удельную потенциальную энергию деформации для единицы объема упругого тела, который направлен вдоль произвольно выбранной декартовой системы координат , , , можно записать как:

(1.1)

Введем вектор напряжений и вектор деформаций

(1.2)

Тогда выражение (1.1) перепишется в виде:

(1.3)

Накопленная телом потенциальная энергия деформации определяется как интеграл по всему объему тела :

(1.4)

Закон Гука можно записать через матрицу упругих постоянных в матричном виде:

. (1.5)

Поэтому потенциальную энергию деформации запишется в виде:

(1.6)

Работу внешних сил так же можно записать в матричном виде. Ведем для этого вектор перемещений:

(1.7)

где - проекции вектора перемещений вдоль осей , , , вектор массовых сил

(1.8)

и вектор поверхностных сил , который действует на части поверхности ,

(1.9)

С помощью введенных величин работа внешних сил запишется как:

(1.10)

Известно, что полная энергия (функционал Лагранжа) системы определяется как:

(1.11)

Окончательное выражение получим с учетом (1.6) и (1.10):

. (1.12)

Согласно общим теоремам механики, истинное состояние равновесия тела соответствует минимуму полной энергии, иначе говоря, задача сводится к нахождению векторов и , , которые дают . В данной вариационной задаче уравнениями Эйлера являются статические граничные условия и уравнения равновесия.

МКЭ как метод Ритца.

Построение поля перемещений в виде разложений по некоторой системе координатных функций является одним из главных моментов метода Ритца минимизации функционала энергии:

(1.13)

удовлетворяющие кинематическим граничным условиям. Функции в классическом методе Ритца должны обладать свойством полноты и определяются во всей области. Аппроксимацией вектора перемещений является выражение (1.13), и она определена сразу во всей области. Поиск решения в виде (1.13) является здесь главной трудностью. Эта трудность заключается в том, что для областей неканонической формы сложно построить функции . Во избежание таких трудностей было решено разбивать данную область на отдельные элементы, которые являются более простой геометрической структуры, потому что значительно проще строить аппроксимации внутри этих элементов. Здесь появляется новая трудность, она заключается в том, что должны выполняться условия непрерывности перемещений во время стыковки этих отдельных элементов. Во избежание этих трудностей было решено принимать значения компонент перемещений в некоторой системе точек, которые находятся на границах стыкуемых элементов в качестве неопределенных коэффициентов разложений . В конечном итоге получили метод конечных элементов, который является видоизмененным методом Ритца.

Основные этапы МКЭ:

1)  Разбиваем данную область на геометрически простые части.

2)  вводятся узлы между отдельными частями на границах, так же и внутри элементов если необходимо, и впоследствии основными неизвестными являются перемещения этих узлов .

Выражение функционала энергии для отдельного КЭ определяется как функции перемещений узлов, которые принадлежат только этому КЭ.

Рассмотрим некоторый m-ый элемент. Вектор узловых перемещений этого элемента обозначим через вектор :

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6