Кинематика (стр. 2 )

¨  Скорость.

По определению . Выберем ось 0Х вдоль направления движения, тогда в проекциях на эту ось . Проинтегрируем это выражение:

.

Если , то , значит

,

где — проекция начальной скорости на ось 0Х.

¨  Кинематическое уравнение движения.

По определению .

Проинтегрируем это выражение:

.

Если , то , значит ,

где — начальная координата.

При равномерном прямолинейном движении, когда , получаем

.

¨  Графическое представление кинематических характеристик

Графики ускорения

Графики скорости

Кинематическое уравнение движения

1.5. Кинематика вращательного движения твердого тела

Абсолютно твердым (твердым) называется тело, для которого расстояние между любыми двумя его точками всегда остается неизменным. Любое движение твердого тела можно представить в виде комбинации поступательного и вращательного движений. При поступательном движении траектории любых точек тела одинаковы, поэтому оно эквивалентно движению материальной точки. При вращательном движении все точки движутся по концентрическим окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения ( ОО׳ рис. 1.7).

¨  Элементарный поворот — мера перемещения тела во вращательном движении. По модулю он равен углу поворота и ориентирован вдоль оси вращения OO׳ (рис. 1.7). Его направление определяется правилом правого винта (для правой системы координат, см. рис. 1.1), или правилом левого винта (для левой системы координат, в которой оси 0Х и 0Y меняются местами). Вектора, имеющие разное направление в разных системах координат, называются псевдовекторами.

¨  Угловая координата , рад — определяет положение тела при вращательном движении.

¨  Кинематическое уравнение движения — позволяет определить положение тела в любой момент времени.

Угловая скорость , рад/с — определяет направление и быстроту вращения. Вектор угловой скорости лежит на оси вращения и связан с направлением вращения правилом правого винта.

, или в проекции на ось OO׳ .

¨  Угловое ускорение , рад/с2 — определяет быстроту изменения угловой скорости. При неподвижной оси вращения угловое ускорение направлено вдоль (ускоренное движение) или против (замедленное движение, рис.1.7) направления угловой скорости:

, или в проекции на ось OO׳ .

При равномерном вращении вокруг неподвижной оси и . В проекциях на ось ОО׳ (аналогично равномерному прямолинейному движению):

.

,с — период вращения, т. е. время одного оборота.

n,1/с — частота вращения — количество оборотов в единицу времени.

Равнопеременное вращение вокруг неподвижной оси происходит с постоянным угловым ускорением, направленным вдоль (+) или против (–) начальной угловой скорости (рис.1.8):

, где

— проекции начальной и конечной угловой скорости на направление , b — модуль углового ускорения.

Связь угловых и линейных переменных

Из определения радиана

.

Продифференцировав это выражение по времени , получаем связь линейной и угловой скоростей : .

Дифференцируя повторно, получаем связь модулей тангенциального и углового ускорений:

.

Нормальное ускорение приводится к виду:

.

Глава 2

ДИНАМИКА

раздел механики, в котором изучается движение тел и причины этого движения. Основа динамики поступательного движения тела — три закона Ньютона.

2.1. Первый закон Ньютона (закон инерции)

¨  Тело сохраняет свою скорость (движется по инерции), если на него не действуют другие тела или их действие скомпенсировано.

¨  Инерциальными называются системы отсчета, в которых выполняется первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно. Системы отсчета, движущиеся с ускорением, называются неинерциальными (тормозящий автобус).

В дальнейшем мы будем использовать только инерциальные системы отсчета.

¨  Инертность — способность тел сохранять свою скорость.

¨  Масса m, (кг) — мера инертности тел при поступательном движении.

¨  Плотность r, кг/ м3 — — масса в единице объема. Зависит от вещества, из которого состоит тело и внешних условий. Табличная величина. V — объем тела.

¨  Принцип относительности Галилея: Механические явления протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Законы механики имеют одинаковый вид в любой инерциальной системе отсчета.

2.2. Второй и третий законы Ньютона

Рис. 2.2.2Сила , Н — векторная величина, являющаяся мерой взаимодействия тел при поступательном движении. Действие тел заменяется действием сил (рис. 2.1 а, б, в):

¨  Сложение сил: если на тело действуют несколько сил, то их можно заменять равнодействующей силой, равной их векторной сумме (рис. 2.2).

Силы в механике*(для самостоятельного повторения)

¨  Силы упругости возникают при упругих деформациях тел. Они стремятся вернуть телу исходную форму и объем (рис2.3).

Деформация — изменение формы и объема тела.

Упругая деформация исчезает после снятия нагрузки. При этом силы упругости возвращают телу исходную форму и объем.

Закон Гука: сила упругости пропорциональна удлинению пружины x:

,

где l0 — начальная и l — конечная длина пружины, x = l - l0 ,

знак минус означает, что сила упругости направлена против удлинения,

k, Н/м — коэффициент жесткости (упругости), зависящий от упругих свойств материала.

¨  Сила трения возникает между поверхностями соприкасающихся тел и препятствует их относительному перемещению.

Сила трения покоя препятствует возникновению относительного перемещения соприкасающихся тел. Сила трения покоя равна по модулю результирующей всех остальных сил, действующих на тело (рис. 2.4).

Закон трения скольжения: сила трения скольжения возникает при движении соприкасающихся тел и пропорциональна силе реакции опоры, или равной ей по величине силе нормального давления :