Кинематика (стр. 6 )

¨  Релятивистская энергия тела определяется формулой

и неограниченно возрастает при.

Эта формула определяет взаимосвязь массы и энергии. Масса — мера энергии заключенной в телах. Если меняется энергия тела, меняется его масса.

можно трактовать, как полную внутреннюю энергию тела, а как его кинетическую энергию.

Глава 6.

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

6.1. Основные понятия

¨  Колебаниями называются процессы в той или иной степени повторяющиеся во времени.

Периодическими называются колебания, при которых значения физических величин повторяются через равные промежутки времени.

Период колебаний , с — время одного полного колебания.

Частота , Гц — количество полных колебаний, совершаемых за единицу времени..

Циклическая ( круговая) частота , рад/с — количество полных колебаний за секунд. .

Гармонические колебания — это процессы, в которых физические величины меняются по гармоническому закону (рис. 6.1):

.

— амплитуда колебаний — максимальное значение колеблющейся величины. Например, наибольшее отклонение маятника , наибольшая скорость и ускорение маятника.

— фаза колебаний — определяет значение в данный момент времени,

— начальная фаза колебаний — определяет состояние системы в момент старта колебаний.

В механике колебания осуществляются маятниками (осцилляторами) — любыми телами, колеблющимися вблизи положения равновесия.

6.2. Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний

¨  Скорость и ускорение гармонических колебаний

Для механических колебаний, где смещение маятника (осциллятора) из положения равновесия.

Кинематическое уравнение движения имеет вид:

.

Скорость колебаний, по определению, является первой производной смещения по времени:

,

где — амплитуда скорости.

Ускорение определяется второй производной:

,

где — амплитуда ускорения.

Легко заметить, что, или

.

¨  Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Если процесс подчиняется дифференциальному уравнению

,

то он является гармоническим колебанием

с собственной циклической частотой.

Амплитуда и начальная фаза определяются из начальных условий.

6.3. Примеры свободных гармонических колебаний

¨  Пружинный маятник — груз массой на пружине жесткостью, совершающий колебания под действием возвращающей силы упругости (рис 6.2). По закону Гука, по второму закону Ньютона

.

Получили уравнение, тождественное (6.2). Значит, колебания пружинного маятника происходят по гармоническому закону

с собственной циклической частотой и периодом.

¨  Физический маятник — твердое тело массой, с моментом инерции, имеющее ось вращения, расположенную выше центра тяжести (рис. 6.3). Тело совершает вращательно–колебательные движения под действием момента силы тяжести, приложенной в центре тяжести

.

Для малых колебаний, . Таким образом,

.

По второму закону Ньютона для вращательного движения

.

Получили уравнение, тождественное (6.2). Значит, малые колебания физического маятника происходят по гармоническому закону

с собственной круговой частотой и периодом

.

¨  Математический маятник — материальная точка массой, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длиной. Предельный случай физического маятника с моментом инерции (рис 6.4). При малых углах () колебания математического маятника являются гармоническими. Период колебаний математического маятника (для малых углов) определяется формулой Гюйгенса. Период не зависит от массы и амплитуды колебаний (изохронность колебаний). Изохронность колебаний используется для измерения времени.

¨  Превращение энергии при гармонических колебаниях

При свободных гармонических колебаниях выполнятся закон сохранения механической энергии: в любой точке траектории сумма кинетической и потенциальной энергий не меняется.

Для пружинного маятника:

— потенциальная энергия в момент времени t.

— кинетическая энергия в момент времени t.

— полная механическая энергия в любой момент времени одинакова.

Для математического маятника:

.

, — амплитуда и текущее значение смещения,

— максимальная и текущая высота подъема материальной точки,

— максимальная и текущая скорость материальной точки.

v  Общий случай

Если в функции потенциальной энергии колеблющейся системы есть минимум в т. (), ее можно разложить в ряд Тейлора

.

Колебания называются малыми, если можно пренебречь всеми членами, кроме первого, так что. Так как

, то — квазиупругая сила,

а — коэффициент квазиупругой силы.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний приобретает вид, где — собственная циклическая частота, — мера инертности системы, например, масса, момент инерции и др.

6.4. Свободные затухающие колебания

¨  Определение. Свободными затухающими называются колебания, механическая энергия которых расходуется на работу против диссипативных сил (сил трения): . Амплитуда колебаний уменьшается, колебания затухают.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Для случая малых колебаний в отсутствии сухого трения можно считать, что сила трения равна, — коэффициент сопротивления.

Для малых колебаний основной закон динамики будет иметь вид: , где — коэффициент затухания, — собственная частота свободных колебаний.

Решение дифференциального уравнения затухающих колебаний.

выбирается в виде гармонической функции, амплитуда которой экспоненциально убывает со временем (рис. 6.5): . Циклическая частота определяется формулой.

Логарифмическим декрементом затухания называется натуральный логарифм отношения амплитуд соседних колебаний в моменты времени и :

.

Время релаксации: — время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в раз. — количество колебаний, по истечении которых амплитуда колебаний уменьшается в раз.

6.5. Вынужденные колебания

Вынужденные гармонические колебания происходят под действием внешней вынуждающей силы, которая меняется по гармоническому закону: , где

— циклическая частота вынуждающей силы,

— максимальное значение (амплитуда) силы.

Кроме вынуждающей на систему действуют силы

и.

Установившиеся колебания также являются гармоническими, причем совершаются с циклической частотой вынуждающей силы.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.

Для малых колебаний основной закон динамики будет иметь вид:

,

где — коэффициент затухания (6.4),

— собственная циклическая частота свободных колебаний.

Решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний

выбирается в виде гармонической функции

,

где — сдвиг фазы между смещением и вынуждающей силой. Амплитуда колебаний

— зависит от соотношения и.

Анализ амплитуды вынужденных колебаний. Резонанс

На рисунке 6.6 приведены кривые зависимости амплитуды А от циклической частоты вынуждающей силы (резонансные кривые).

1)   При амплитуда, что соответствует статической деформации системы под действием постоянной внешней силы.

2)   При, .

3)   При наступает резонанс — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении циклической частоты вынуждающей силы к собственной частоте системы (рис.39). Амплитуда увеличивается до тех пор, пока работа сил трения не сравняется с работой внешней силы. При отсутствии трения возрастание амплитуды неограниченно.

6.6. Автоколебания

Автоколебательной называется система, совершающая незатухающие колебания за счет действия источника энергии, не обладающего колебательными свойствами. Например, механические часы, анкерный механизм которых обеспечивает положительную обратную связь постоянного источника энергии (гиря) с маятником (рис 6.7).

На рис.6.8 показана автоколебательная система с отрицательной обратной связью (сифон). Негармонические колебания совершает уровень воды в сосуде.

Обратная связь.

Любая автоколебательная система состоит из четырех частей (рис. 6.9):

а) колебательной системы;

б) источника энергии, компенсирующего потери энергии;

в) клапана – устройства, регулирующего поступление энергии в колебательную систему;

г) обратной связи — основного признака автоколебательной системы – устройства для обратного воздействия автоколебательной системы на клапан. Положительная обратная связь "раскачивает", возбуждает систему, отрицательная — возвращает систему в исходное положение.

6.7. Сложение колебаний

¨  Сложение колебаний одинаковой частоты и направления Гармонические колебания моделируются колебаниями проекции радиус-вектора амплитуды при его вращении с угловой скоростью w (рис.6.10). С помощи векторов амплитуд можно складывать колебания одинаковой частоты и направления, но разной амплитуды и фазы (рис.6.11). Из рисунка видно, что

.

В общем случае амплитуда результирующего колебания будет меняться в пределах

.

Происходит увеличение или уменьшение результирующей амплитуды. Частота колебаний не меняется.

¨  Биения. (Сложение колебаний близкой частоты и одинакового направления)

Результирующее движение в этом случае можно рассматривать как гармоническое колебание с пульсирующей амплитудой (рис. 6.12) — биения.

¨  Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Рассмотрим материальную точку, участвующую в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты, но отличающихся по фазе на : или

.

Это параметрические уравнения траектории. Исключая время, получаем различные типы колебаний.

♦ Линейно поляризованные колебания

:  — траектория — прямая линия.

♦ Эллиптически поляризованные колебания

:  — траектория — эллипс (рис. 6.13а).

♦ Круговая поляризация

Если материальная точка движется по окружности радиуса.

Таким образом, в зависимости от разности фаз двух взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты траектория меняется от прямой линии до эллипса.

В случае рационального отношения частот траектории движения материальной точки замкнуты и называются фигурами Лиссажу (рис. 6.13 а, б).

Глава 7.

УПРУГИЕ ВОЛНЫ

7.1. Основные понятия

Бегущей волной называется всякое возмущение (изменение) состояния вещества или поля, распространяющееся в пространстве без переноса элементов среды.

¨  Распространение колебаний в упругих средах происходит за счет упругих волн. Упруго деформированный участок среды, возвращая начальную форму, деформирует соседние участки и т. д. Волны переносят энергию и импульс без переноса вещества.

Поперечной называется волна, в которой частицы среды колеблются в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны (наблюдаются только в твердых телах, рис.7.1а).

Продольной называется волна, в которой колебание частиц происходит в направлении распространения волны, изменяя плотность среды (наблюдаются в газах, жидкостях и твердых телах, рис.7.1б).

Длина волны l , м — расстояние между двумя ближайшими точками среды, которые колеблются в одинаковой фазе (рис.7.2).

Волновой поверхностью (фронтом волны) называется геометрическое место точек среды, которые колеблются в одной фазе. По форме фронта волны делятся на плоские, цилиндрические, сферические.

¨  Фазовая скорость распространения упругих волн — скорость движения фронта волны. Она зависит от упругости и плотности среды.

, где

— модуль объемной упругости, — плотность среды.

♦ Связь длины волны l со скоростью ее распространения

Длина волны равна расстоянию, которое проходит волна за время, равное периоду колебаний источника волн:

.

¨  Звуковые волны — упругие волны в слышимом диапазоне частот:

инфразвук, 16 Гц < слышимый диапазон < 20 000 Гц, ультразвук.

Громкость (сила) звука определяется квадратом амплитуды колебаний частицы среды.

Высота тона определяется частотой звуковых колебаний: чем больше частота, тем выше тон.

7.2. Уравнение волны. Волновое уравнение

¨  Уравнение плоской синусоидальной волны, распространяющейся вдоль оси ОХ.

Определим смещение точек среды в волне в любой точке луча ОХ в любой момент времени. Источник гармонических колебаний находится в точке. Отклонение в т. в момент времени совпадает с отклонением источника колебаний в момент времени, . — время движения волны от. Так как (рис. 7.3). Таким образом, самый общий вид уравнения бегущей волны:

.

В случае плоской синусоидальной волны .

¨  Период колебаний волны , частота, циклическая частота, совпадает с периодом, частотой и циклической частотой колебаний источника волн. Действительно, фиксируя точку наблюдения, получаем гармоническое колебание точки среды

.

Причем, .

¨  Пространственный период волны определяет длина волны. Фиксируя время наблюдения, получаем

.

Из определения длины волны, тогда

.

Уравнение плоской синусоидальной волны обычно записывается в виде: , где — волновое число.

¨  Волновое уравнение

Уравнение плоской синусоидальной волны является решением волнового уравнения: .

Действительно, ,

.

7.3. Энергия волны

¨  Плотность энергии волны

Волновое движение переносит энергию из одного места пространства в другое. Однако, точки среды, участвующие в передаче энергии, колеблются около положения неизменного равновесия. Все точки тела участвуют в колебании. Поэтому средняя плотность энергии волны (энергия единицы объема), равна, где — плотность, — амплитудное значение скорости колебаний (6.2) точек среды. Поэтому,

.

¨  Интенсивность волны. , Вт/м2 — это энергия, переносимая волной за единицу времени (мощность) через единицу площади заданной поверхности (рис. 7.4).

Скорость переноса энергии называется групповой скоростью .

Для синусоидальной волны фазовая и групповая скорости совпадают: .

За единицу времени волна переносит энергию на расстояние в объем цилиндра единичной площади и длиной (рис. 7.4). Так как это плотность энергии, то значение интенсивности волны будет равно:

Интенсивность волны имеет смысл потока энергии, проходящего через единицу площади в единицу времени.

Поток энергии изображают вектором, направленным вдоль распространения энергии и величиной, равной интенсивности волны. Этот вектор называют вектором Умова.