Кинематика (стр. 1 )

ЧАСТЬ 1

МЕХАНИКА

изучает закономерности механического движения.

Механическое движение — изменение взаимного расположения тел с течением времени.

Глава 1

КИНЕМАТИКА

изучает движение тел, не рассматривая причины этого движения.

1.1. Кинематические уравнения движения материальной точки

¨  Материальная точка — тело, размерами которого можно пренебречь в данной задаче (размеры тел намного меньше расстояний между ними или тело движется поступательно, т. е. все точки тела описывают одинаковые траектории).

¨  Система отсчета включает тело отсчета (относительно которого рассматривается движение), связанную с ним систему координат (рис. 1.1.) и способ отсчета времени (часы). Система отсчета выбирается для определения положения материальной точки (тела) в пространстве и времени.

¨  Относительность механического движения заключается в зависимости координат, траектории, скорости и ускорения тела от выбора системы отсчета.

¨  Положение материальной точки в пространстве задается указанием координат точки M, либо значением радиус-вектора , проведенного в точку М из начала координат (точка 0). Причем,

,

где — координаты точки, — единичные векторы (орты) осей (рис. 1.1). Модуль радиус-вектора находится по теореме Пифагора:

.

¨  Траектория — линия, по которой движется тело.

¨  Перемещение — приращение радиус-вектора за рассматриваемый промежуток времени.

¨  Путь ,м — расстояние, пройденное движущейся точкой за рассматриваемый промежуток времени вдоль траектории (рис. 1.1).

¨  Дуговая координата ,м — длина участка траектории, пройденного движущейся точкой в течение рассматриваемого промежутка времени.

¨  Кинематические уравнения движения — это зависимость радиус-вектора (или координат ) от времени (с), позволяющая определить положение материальной точки при ее движении в любой момент времени:

или .

Эти две формы связаны принципом суперпозиции движений: любое сложное движение в пространстве можно представить как сумму трех независимых прямолинейных движений вдоль осей :

.

1.2. Скорость

¨  Математика.

Средней скоростью изменения функции называется отношение приращения функции к приращению аргумента :

.

Мгновенной, истинной скоростью изменения называется предел, к которому стремится средняя скорость при . Это скорость в заданный момент времени:

.

Таким образом, чтобы определить скорость изменения функции, нужно взять производную этой функции по времени.

Скорость определяет быстроту изменения функции.

¨  Скорости движения определяют быстроту движения. При движении материальной точки становятся функциями от времени: . Поэтому, вводится три типа скоростей:

Векторная скорость (просто скорость) , м/с — равна

и направлена по касательной к траектории (рис. 1.2).

Проекции на оси координат определяют быстроту изменения координат точки

.

Скалярная скорость ,м/с:

.

¨  Связи между скоростями.

Дифференцируя принцип суперпозиции, получаем:

.

Так как , . Из теоремы Пифагора

.

¨  Сложение скоростей.

Если тело в выбранной системе отсчета одновременно участвует в нескольких движениях со скоростями , то его скорость равна векторной сумме этих скоростей:

.

Этот закон является следствием инвариантности перемещений и интервалов времени в разных системах отсчета в классической (ньютоновской) механике.

1.3. Ускорение

¨  Ускорение м/с2 — определяет быстроту изменения скорости (скорость изменения скорости). Аналогично скоростям вводятся следующие типы ускорений:

Векторное ускорение (просто ускорение) м/с2:

.

Проекции ускорения на оси координат:

.

Тангенциальное ускорение м/с2:

.

¨  Связи между ускорениями.

Дифференцируя принцип суперпозиции два раза, получаем:

.

По теореме Пифагора: .

¨  Тангенциальная и нормальная составляющие ускорения.

В общем случае, ускорение может быть направлено под любым углом к скорости . Поэтому его удобно представить как векторную сумму двух ускорений (рис. 1.3):

.

— тангенциальное ускорение направлено по (против) скорости и определяет быстроту изменения модуля скорости материальной точки:

.

— нормальное (центростремительное) ускорение направлено перпендикулярно скорости и определяет быстроту изменения направления скорости материальной точки:

,

где — радиус кривизны траектории (радиус окружности, по которой двигалась бы материальная точка при ).

1.4. Равнопеременное движение

При таком движении , то есть модуль скорости за равные промежутки времени изменяется на одинаковые величины. Если , движение называется равноускоренным, а если — равнозамедленным. Если , то движение будет равнопеременное прямолинейное. Определим в этом случае скорость и кинематическое уравнение движения.