Кинематика (стр. 5 )

, Тогда

— основной закон динамики вращательного движения.

Скорость изменения момента импульса системы тел равна векторной сумме внешних моментов сил.

¨  Закон сохранения момента импульса

Если сумма моментов внешних сил равна нулю (замкнутая система тел), то в замкнутой системе тел векторная сумма моментов импульса тел не меняется.

Закон сохранения момента импульса является следствием изотропности пространства. Например, свободно вращающиеся маховики (гироскопы, Земля) сохраняют направление оси вращения, так как все направления равнозначны и нет внешних причин для его изменения.

4.5. ТАБЛИЦА СООТВЕТСТВИЯ

ПОСТУПАТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЙ

поступательное

вращательное

КИНЕМАТИКА

положение тела в пространстве

(м) — радиус-вектор

(рад) — угловая координата

скорость

(м/с) — скорость

(рад/с) — угловая скорость

ускорение

(м/с2) — ускорение

(рад/с2) — угловое ускорение

ДИНАМИКА

мера инертности тел

(кг) — масса

(кг×м2) — момент инерции

мера взаимодействия тел

(Н) — сила

(Н×м) — момент силы

мера количества механического движения

(кг×м/с) — импульс

(кг×м2/с) — момент импульса

основной закон динамики (второй закон Ньютона)

закон сохранения количества движения

РАБОТА И ЭНЕРГИЯ

элементарная механическая работа

(Дж)

(Дж)

мощность

(Вт)

(Вт)

кинетическая энергия

(Дж)

(Дж)

Глава.5

СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

раздел механики, в котором изучается движение тел, чьи скорости соизмеримы со скоростью света.

5.1. Принцип относительности Галилея

¨  Преобразования Галилея

Рассмотрим преобразования координат материальной точки М и времени при переходе от одной инерциальной системы к другой (рис. 5.1).

Система движется вдоль оси ОХ инерциальной системы с постоянной скоростью, причем при координаты точки М совпадают в обеих системах отсчета. В классической механике считается, что время во всех системах отсчета идет одинаково, тогда получаем связь между координатами т. М в системах и:

,

и.

Это преобразования Галилея, позволяющие переходить в классической механике от одной инерциальной системы к другой.

Дифференцируя полученное соотношение, получаем формулу преобразования скоростей при переходе от одной инерциальной системы к другой:

.

Скорость — относительная величина и зависит от выбора системы отсчета.

Дифференцируя еще раз, получаем:

.

Ускорение не зависит от выбора инерциальной системы отсчета. Следовательно, сила взаимодействия будет одинакова в любой инерциальной системе отсчета. При этом предполагается, что масса одинакова во всех системах отсчета.

Принцип относительности Галилея. Механические явления протекают одинаково, а законы механики имеют одинаковый вид в любой инерциальной системе отсчета.

5.2. Принцип относительности Эйнштейна

¨  В классической механике предполагается, что взаимодействие между телами осуществляется мгновенно, а, следовательно, время во всех системах отсчета идет одинаково. Это допущение приводит к классическим преобразованиям Галилея. Однако опыт показывает, что мгновенных взаимодействий не существует. Значит, есть процесс, осуществляющийся с максимальной скоростью, быстрее которой материальные объекты двигаться не могут. Таким процессом является распространение света в вакууме. Его скорость м/с.

¨  Принцип относительности Эйнштейна

Первый постулат

В любых инерциальных системах отсчета все физические явления при одних и тех же условиях протекают одинаково. Физические законы имеют одинаковый вид в любой инерциальной системе отсчета.

Второй постулат (принцип инвариантности скорости света)

Скорость света в вакууме не зависит от скорости источника света.

Эти постулаты приводят к изменению классических представлений о времени и пространстве. На их основе Эйнштейном была создана релятивистская (относительная) механика процессов, происходящих со скоростями, близкими к скорости света.

Одновременность событий

Допустим, что в центре вагона (т. ), движущегося в системе отсчета со скоростью, вспыхивает лампочка (рис. 5.2).

Событиями здесь являются достижение светом передней (событие ) и задней (событие ) стенок вагона.

Система связана с вагоном, поэтому в ней вагон покоится, и события и происходят одновременно как в классической, так и в релятивистской механике. У Ньютона события остаются одновременными и в системе, где вагон движется, так как скорости движения сигнала «вперед» и «назад» становятся различными. В релятивистской механике скорость света не зависит от движения источника света, поэтому событие происходит раньше, чем событие.

5.3. Интервал

¨  Событие в механике определяется координатами и временем, где и когда оно произошло. Событие изображается мировой точкой в четырехмерном пространстве, на осях которого откладываются. Для простоты будем считать, что и в начальный момент событие произошло в мировой точке 0 (рис. 5.3). При изменении координат и времени мировая точка рисует мировую линию. Например, (рис. 5.3):

1. мировая линия частицы, покоящейся в точке ;

2. мировая линия частицы, движущейся равномерно вдоль оси со скоростью ;

3. мировая линия объекта (например, фотона), движущегося вдоль оси со скоростью света.

Абсолютно удаленные мировые точки не могут быть причинно связаны с событием 0, так как для попадания в них из 0 надо двигаться со скоростью, большей скорости света, что невозможно. Мировые точки, лежащие в конусах «абсолютное прошлое, будущее» могут быть причинно связаны с событием, являясь либо его причиной («абсолютное прошлое»), либо следствием («абсолютное будущее»).

Интервал. Свойства пространства-времени характеризуются интервалом — расстоянием между двумя мировыми точками (событиями):

.

Если между событиями возможна причинная связь, а если — невозможна. Интервал имеет одинаковое значение (т. е. инвариантен) в любой инерциальной системе отсчета.

5.4. Преобразования Лоренца

Определяют изменение события при переходе от одной инерциальной системы к другой.

В системе отсчета частица движется со скоростью вдоль оси 0X. В системе отсчета, связанной с частицей, частица покоится и ее мировая линия (рис. 5.3 линия 2) системы : станет осью системы (рис. 5.4).

Переход от инерциальной системы к (где частица покоится) сводится в четырехмерном пространстве к повороту оси на угол (рис.5.4), причем

,

где.

Из геометрических соображений можно получить преобразования Лоренца — связь между старыми и новыми координатами мировой точки:

, или

Если, то и преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея. При малых (по сравнению со скоростью света) скоростях релятивистская механика переходит в классическую.

Дифференцируя преобразования Лоренца по времени, получаем закон сложения скоростей в релятивистской механике:

.

v  Например:

При они дают закон сложения скоростей классической механики Ньютона: .

¨  Лоренцево сокращение длины

Из преобразований Лоренца следует, что линейный размер тела, движущегося относительно инерциальной системы отсчета со скоростью, уменьшается в направлении движения. В направлениях, перпендикулярных движению, размеры тела не меняются.

Свяжем с движущимся стержнем систему отсчета (рис. 5.5):

,

где — наибольшая длина стержня (в системе, где стержень покоится), — длина стержня в системе отсчета.

¨  Замедление времени

События, происходящие в одной точке системы с интервалом, в системе происходят в разных точках на расстоянии, где — интервал времени между событиями в системе.

Из преобразований Лоренца следует, что.

Промежутки времени, измеряемые часами, движущимися вместе с объектом, называются собственным временем этого объекта. Неподвижные часы () идут быстрее движущихся (). Все процессы в движущейся системе протекают медленнее, чем в неподвижной (подтверждаются экспериментально).

5.5. Релятивистская динамика

¨  Импульс. Из принципа относительности следует, что запись любого закона физики должна быть одинакова (инвариантна) во всех инерциальных системах отсчета. Поэтому в релятивистской динамике импульс является нелинейной функцией скорости частицы :

.

Только в этом случае основное уравнение релятивистской динамики остается инвариантным относительно инерциальных систем.

или .

¨  Масса. Новое определение импульса иногда трактуют, как изменение массы движущегося тела: , где — масса покоя. При приближении к скорости света его масса неограниченно увеличивается, неограниченно растет инертность и энергия необходимая для увеличения скорости, поэтому объекты, имеющие массу покоя, не могут двигаться со скорость света.