Кинематика (стр. 3 )

,

где — коэффициент трения скольжения, зависящий от материала соприкасающихся тел и качества обработки их поверхностей.

¨  Гравитационные силы (силы тяготения) — силы притяжения, существующие между любыми телами.

¨  Закон всемирного тяготения: две материальные точки притягиваются друг к другу (рис. 2.5) с силой, прямо пропорциональной массам и этих точек и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Модуль силы тяготения

,

где — гравитационная постоянная.

¨  Сила тяжести — сила, с которой планета (Земля) притягивает тело. Под действием одной силы тяжести тело свободно падает с ускорением. По второму закону Ньютона:

.

¨  Вес тела — сила, с которой тело давит на опору или растягивает подвес. Вес приложен к опоре или подвесу (рис. 2.6).

Если опора покоится или движется равномерно и прямолинейно, то вес тела равен силе тяжести:

P = mg.

Если опора движется с ускорением вверх, то вес увеличивается (+), вниз — уменьшается (-):

P = m(ga).

При свободном падении (a = g) тело не давит на опору. Отсутствие веса (Р = 0) называется невесомостью.

¨  Движение под действием силы тяжести — свободное падение. При этом все тела движутся с одинаковым ускорением — ускорением свободного падения. Вблизи поверхности Земли g = 9,8 м/с2:

а) если начальная скорость v0 направлена вертикально, то движение прямолинейное;

б) если начальная скорость v0 направлена горизонтально, то тело будет двигаться по параболе,

в) если v0 направлена горизонтально и v0= v1=7,9 км/с, то тело становится искусственным спутником Земли и движется по круговой орбите. Роль центростремительного ускорения выполняет ускорение свободного падения: .

Отсюда найдем первую космическую скорость:

км/с.

Так как спутник свободно падает, в нем наблюдается невесомость.

¨  Импульс , кг м/с — мера количества поступательного движения тела.

¨  Второй закон Ньютона (основной закон динамики).

Скорость изменения импульса тела в инерциальной системе отсчета равна силе, приложенной к телу.

.

1 следствие. Если масса тела не меняется

.

2 следствие. Если равнодействующая сила равна нулю, то импульс тела не меняется:

.

¨  Закон изменения количества движения.

,

, где — импульс силы за время.

Изменение импульса (количества движения) за время равно импульсу силы за это же время.

Рис. 2.2.5Третий закон Ньютона.

При взаимодействии двух тел возникают силы, равные по величине, направленные в противоположные стороны вдоль одной прямой и приложенные к разным телам (рис. 2.7)

.

2.3. Сохраняющиеся величины

¨  Внутренними силами механической системы тел называются силы, действующие между телами этой системы:

— внутренняя сила, действующая на i-ую частицу со стороны j-ой.

Внешние силы описывают действие на систему других тел:

— равнодействующая внешних сил, действующая на i-ую частицу.

¨  Система тел называется замкнутой, если она включает в себя все взаимодействующие тела или равнодействующая внешних сил и их моментов равна нулю. В случае замкнутой системы суммарные (интегральные) ее характеристики могут быть изменены только свойствами пространства и времени. Неизменность этих свойств приводит к сохранению интегральных характеристик.

¨  Основными свойствами пространства и времени в инерциальных системах отсчета являются:

1)   однородность пространства — равнозначность всех его точек — приводит к закону сохранения импульса механической системы;

2)   однородность времени приводит к закону сохранения энергии;

3)   изотропность пространства — равнозначность всех направлений — приводит к закону сохранения момента импульса.

2.4. Закон сохранения импульса механической системы

¨  Импульсом системы из N материальных точек, обладающих массами и скоростями, называется векторная сумма

.

Вывод закона изменения импульса механической системы.

Рассмотрим систему из материальных точек, на каждую из которых действуют внутренние силы и внешняя.

Запишем для каждой из них второй закон Ньютона:

,.

Сложим все уравнений.

По третьему закону Ньютона, поэтому. Таким образом,

Закон изменения импульса механической системы.

.

Скорость изменения импульса системы материальных точек равна векторной сумме внешних сил (главному вектору внешних сил).

¨  Вывод закона сохранения импульса механической системы.

Для замкнутой системы материальных точек результирующая внешняя сила равна нулю, поэтому:

.

При любых событиях в замкнутой системе материальных точек импульс системы не меняется (сохраняется).

2.5. Центр масс (центр инерции)

¨  Центром масс или центром инерции системы из N материальных точек называется точка с радиус–вектором

,

где — масса и радиус-вектор - ой материальной точки, — масса системы.

¨  Скорость центра масс (инерции):

.

¨  Импульс центра масс (инерции) совпадает с импульсом системы материальных точек: .

¨  Закон движения центра масс.

Из предыдущего ясно что

.

Таким образом, центр инерции механической системы движется как материальная точка массой, на которую действует сила (главный вектор сил). Для замкнутой системы тел центр инерции движется равномерно.

Глава 3

РАБОТА и ЭНЕРГИЯ

3.1. Работа силы и ее выражение через криволинейный интеграл. Мощность силы

¨  Работа , Дж = Н∙м, постоянной силы при прямолинейном перемещении определяется формулой, где — угол между силой и перемещением. Но, что делать, когда сила меняется в процессе движения, а траектория криволинейна? Для этого определяют элементарную работу.

¨  Работа при бесконечно малом перемещении , когда можно считать, а траекторию — прямолинейной:

,

где — скалярное произведение силы и элементарного перемещения, — проекция силы на направление движения, — приращение дуговой координаты (путь точки) за малое время.

¨  Работа при конечном перемещении находится суммированием (интегрированием) всех элементарных работ вдоль траектории (рис. 2.8):

.

¨  Пример. Работа постоянной силы при прямолинейном движении.

Под действием силы материальная точка движется прямолинейно из положения. Определить работу силы (рис. 2.9).

.

¨  Графическое вычисление работы

Работу можно представить в виде интеграла

,

поэтому она равна площади криволинейной трапеции s1abs2 под кривой (рис. 2.10).

s — дуговая координата материальной точки, отсчитанная вдоль траектории.

¨  Мощность силы

Мощность , Дж/с=Вт — это скорость совершения работы

.

Мощность силы .

.

Мощность силы равна скалярному произведению силы на скорость точки ее приложения.

Работа и мощность силы зависят от выбора системы отсчета.

3.2.Энергия

— это общая количественная мера движения и взаимодействия всех видов материи. Энергия не возникает из ничего и не исчезает в никуда, а только переходит из одной формы в другую. При этом может совершаться механическая работа. Понятие энергии объединяет все явления в природе.

¨  Кинетическая энергия K, Дж — это запас работы, связанный с движением тела. Кинетическая энергия, как и скорость, величина относительная. Ее значение можно изменить выбором системы отсчета. Для материальной точки:

.

Для системы материальных точек

,

где — масса, скорость и импульс - ой частицы, — число частиц.

Примеры использования кинетической энергии: пресс, молоток, пуля, парус.

¨  Вывод теоремы о кинетической энергии материальной точки.

Пусть материальная точка массой изменила свою скорость от до под действием результирующей силы. Работа силы привела к изменению кинетической энергии. Определим работу результирующей силы:

, .

Работа результирующей силы равна приращению кинетической энергии материальной точки.

¨  Потенциальная энергия.

Взаимодействие тел передается соответствующим полем — особой формой материи. Например:

1)   электромагнитное взаимодействие передается электрическим и магнитным полями;

2)   гравитационное — гравитационным полем;

3)   ядерное — ядерным.

Поля, в отличие от частиц, непрерывно заполняют пространство. Взаимодействие осуществляется по схеме: частица создает поле, это поле действует на другую частицу.

¨  Поле консервативных (потенциальных) сил.

При движении материальной точки в поле консервативных сил работа не зависит от траектории, а определяется только начальным и конечным положением точки. При движении по замкнутой траектории (контуру) работа таких сил равна нулю. Консервативными являются гравитационное поле и создаваемая им сила тяжести, электростатические силы и поля. Силы, не обладающие

этими свойствами, называются диссипативными (например, силы трения). Работа этих сил переводит энергию из механической в другие формы, например, во внутреннюю энергию.

¨  Потенциальная энергия материальной точи в поле консервативных сил — это работа, которую могут совершить консервативные силы при перемещении тела из данной точки в точку, принятую за начало отсчета потенциальной энергии (рис 19). Потенциальная энергия — величина относительная, зависящая от выбора начала отсчета энергии.