Кинематика (стр. 4 )

Например, потенциальная энергия тела массой, находящегося на высоте над поверхностью земли, равна работе силы тяжести при перемещении тела из точки в любую точку, лежащую на поверхности земли, принятой за начало отсчета энергии (рис 2.11):

.

Следствие 1. Работа, совершаемая силами поля при переходе материальной точки из положения в , равна разности потенциальных энергий в этих точках:

.

Следствие 2. Работа консервативных сил при перемещении материальной точки осуществляется за счет убыли ее потенциальной энергии:

.

3.3. Потенциальные кривые

это графический способ изображения потенциальной энергии, позволяющий судить о силах и характере движения тела.

Консервативная сила — градиент потенциальной энергии.

Пусть частица находится в поле консервативных сил (например, в гравитационном) и ее потенциальная энергия зависит только от одной координаты (рис 2.12). Работа консервативных сил осуществляется за счет убыли потенциальной энергии

.

Сила равна градиенту потенциальной энергии, взятому с обратным знаком.

Градиент определяет скорость изменения скалярной величины в пространстве.

Следствие. Точки локального максимума и минимума потенциальной кривой являются точками, соответственно, устойчивого (А) и неустойчивого (В) равновесия (рис.2.12). Действительно, в этих точках со стороны поля на тело не действуют силы

.

¨  Определение вида потенциальной энергии по силе.

Þ.

♦ Потенциальная энергия деформированной пружины.

По закону Гука сила упругости, где — жесткость пружины, — удлинение. При изменении длины пружины от 0 до

.

♦ Потенциальная энергия поля центральных сил

Центральными называются силы, линия действия которых проходит всегда через одну и ту же точку.

Например, для гравитационных сил эта точка — центр масс.

, — массы, взаимодействующих тел, — расстояние между центрами масс.

Для кулоновских сил данная точка — центр "тяжести" зарядов.

, — заряды взаимодействующих тел, — расстояние между центрами "тяжести" зарядов. Таким образом, для центральных сил справедливо.

.

Потенциальная энергия поля центральных сил обратно пропорциональна расстоянию до центра тела, создающего поле.

3.4. Закон сохранения механической энергии

¨  Одно тело.

Пусть тело движется под действием консервативных и диссипативных сил (например, трения). По теореме о кинетической энергии, работа результирующей силы равна приращению кинетической энергии тела

.

Так как, то или

.

Диссипативные силы направлены против перемещения, поэтому . Следовательно, работа диссипативных сил приводит к уменьшению механической энергии.

Если материальная точка находится в поле только консервативных сил, то полная механическая энергия материальной точки сохраняется. — закон сохранения механической энергии.

¨  Закон сохранения энергии системы материальных точек

Полная механическая энергия системы N материальных точек определяется формулой,

где — сумма кинетических энергий материальных точек, — их потенциальная энергия.

Полная механическая энергия системы тел без диссипативных взаимодействий не меняется, хотя в системе возможны переходы механической энергии из одной формы в другую:

.

3.5. Соударения

Соударением (ударом) называются кратковременные взаимодействия тел, при которых возникающие силы столь велики, что внешними силами можно пренебречь и рассматривать соударяющиеся тела как замкнутую систему.

¨  Абсолютно неупругий удар

При таком ударе тела объединяются и движутся как единое целое (рис. 2.13).

Выберем систему отсчета, связанную с центром инерции. В ней импульс тел после удара, а, следовательно, их скорость и кинетическая энергия будут равны нулю (по закону сохранения импульса). Кинетическая энергия неупруго соударяющихся тел переходит во внутреннюю энергию.

Закон сохранения механической энергии не выполняется, но выполняется закон сохранения импульса: .

Или в проекциях на координатные оси:

;

;

где. Зная массы и скорости исходных частиц, можно определить скорость и импульс объединенного тела после удара.

По теореме Пифагора.

¨  Абсолютно упругий удар

После такого удара тела полностью восстанавливают свою форму и объем. Рассмотрим соударение двух упругих шаров массами.

До соударения большой шар покоится, малый движется со скоростью и импульсом (рис 2.14). Считая систему замкнутой, можно использовать следующие законы сохранения:

1)   — закон сохранения импульса;

2)   — закон сохранения энергии.

Рассмотрим центральный удар, при котором линия удара проходит через центр тяжести обоих тел (рис. 2.15). Тогда в проекциях на ось :

1) , 2) .

Разделив второе уравнение на первое, получаем. Подставляя в первое уравнение, получаем скорость налетавшего шара после удара:

.

Если массы шаров равны, налетающий шар останавливается, а второй движется с его скоростью. Если шар ударяется о стенку, — шар отскакивает с начальной скоростью, причем стенке передается импульс.

Глава 4

МЕХАНИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

4.1. Кинетическая энергия вращательного движения. Момент инерции.

¨  Вывод формулы кинетической энергии вращательного движения.

Пусть тело массой вращается со скоростью вокруг оси ОО׳. Разобьем тело на материальных точек (рис. 4.1), где, — масса и скорость - ой материальной точки,

— длина перпендикуляра, соединяющего ось вращения с - ой материальной точкой. Кинетическая энергия системы материальных точек определяется суммой их кинетических энергий: . Линейная скорость - ой материальной точки. Так как угловая скорость одинакова для всех точек, то

.

¨  Момент инерции I, кг м2 тела относительно выбранной оси вращения это сумма:

.

Момент инерции является мерой инертности тел во вращательном движении. Момент инерции зависит от массы тела и от распределения массы относительно оси вращения.

Таким образом, кинетическая энергия вращательного движения определяется формулой:

аналогично, .

Моменты инерции тел правильной геометрической формы.

§  Рассмотрим момент инерции материальной точки, кольца или пустого цилиндра с массой и радиусом :

.

§  В диске (сплошной однородный цилиндр) часть массы смещена к оси вращения, поэтому его момент инерции уменьшается

.

§  Момент инерции шара по той же причине меньше, чем у диска

.

¨  Теорема Штейнера.

В теоретической механике доказывается, что кинетическую энергию любого движения твердого тела можно представить в виде суммы кинетической энергии центра масс и кинетической энергии вращения тела относительно оси, проходящей через центр масс:

.

Вращение тела c угловой скоростью вокруг произвольной оси aa' можно представить как вращение вокруг этой оси центра масс и вращение самого тела с этой же угловой скоростью вокруг оси oo', параллельной заданной и проходящей через центр масс (рис 4.2). Поэтому, учитывая, что, получим:

Момент инерции тела относительно произвольной оси aa' равен сумме момента инерции центра масс относительно этой же оси и момента инерции тела относительно оси oo', параллельной заданной и проходящей через центр инерции.

4.2. Механическая работа вращательного движения. Момент силы. Мощность

¨  Вывод формулы механической работы вращательного движения

Пусть тело под действием силы поворачивается на бесконечно малый угол. На (рис. 4.3):

— расстояние от оси вращения до точки приложения силы,

—угол между направлением перемещения и силой, — линия действия силы,

— плечо силы.

Элементарная работа

.

По определению радиана.

Тогда, .

Элементарная механическая работа вращательного движения равна произведению момента силы на угловое перемещение :

аналогично, .

Конечная работа получается интегрированием.

¨  Момент силы, Нּм — вектор, направленный по оси вращения (правило правого винта), и характеризующий силовое взаимодействие тел при вращательном движении. Он равен произведению силы на плечо (рис 4.4):

.

— плечо силы — длина перпендикуляра, опущенного от оси вращения на линию действия силы.

Если на тело действуют несколько моментов сил, то результирующий момент находится векторным сложением этих моментов:

.

Угловое ускорение совпадает по направлению с результирующим моментом (рис 27).

¨  Механическая мощность вращательного движения

Мощность — это скорость совершения работы: .

.

Таким образом, аналогично, .

4.3. Второй закон Ньютона для вращательного движения

¨  Используя аналогию формул поступательного и вращательного движения, получаем, что мера взаимодействия между телами () должна быть пропорциональна вызываемому ускорению, коэффициентом пропорциональности является мера инертности тел, поэтому по аналогии с.

Результирующий момент сил равен произведению момента инерции и углового ускорения (рис 4.5). Результирующий момент сил определяется по правилу сложения векторов.

¨  Вывод второго закона Ньютона вращательного движения.

По теореме о кинетической энергии мощность результирующего момента сил равна скорости изменения кинетической энергии вращающегося тела:

.

4.4. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса

¨  Основной закон динамики вращательного движения

Перепишем второй закона Ньютона в следующем виде:

.

Введем , кг×м2/с — момент импульса тела как меру количества механического движения при вращении, совпадающий по направлению с угловой скоростью.

¨  Моментом импульса системы из N тел, обладающих моментами инерции и скоростями, называется векторная сумма