Математические и физические методы исследований: научный и методический аспекты (стр. 3 )

Брест, БрГУ имени

МЕТОД РЕШЕНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА

В работе предлагается методика поиска корней экстремальных задач полиномиальными методами в виде конечного отрезка функционального ряда над базисом всюду плотного в пространстве решений множества многочленов, сходящегося по норме к искомой функции. Поиск приближений осуществим методом наискорейшего спуска. Идея метода состоит в том, что при помощи производной Фреше определяется антиградиентное направление уменьшения нормы невязки нелинейного отображения. Усилением алгоритма служит динамическая сетка отрезка [a,b], являющаяся базой полиномиальных методов, т. е. точки, в которых находятся поправки к значениям интерполяционного многочлена приближения исходной функции по норме C[a,b], могут не являться узлами равномерной сети.

Минск, БГУИР

ПРИНЦИП СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ

В К-НОРМИРОВАННЫХ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

ДЛЯ СИСТЕМ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ

В классической теории стохастических дифференциальных уравнений теорема об однозначной разрешимости доказывается методом последовательных приближений. Различными авторами (, Т. В. Та-расик) для доказательства этой теоремы предлагалось использовать различные аналоги классического принципа неподвижной точки для операторов в К-нормированных пространствах. В результате получены теоремы об однозначной разрешимости уравнений как следствия одного из многочисленных вариантов, а затем и при помощи обычного принципа Банаха-Каччиопполи. Целью предлагаемой работы является распространить основные аналоги общих принципов неподвижной точки на системы дифференциальных уравнений. Следует также отметить, что применяемый метод позволяет получить полный аналог теоремы Пикара для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем уравнений.

Брест, БрГУ имени

О ПОРЯДКЕ СЛЕДОВАНИЯ КОМАНД В ПРОГРАММАХ

МАШИН ТЬЮРИНГА КЛАССА L0

Рассматриваются машины Тьюринга с одной лентой, одной головкой и с внешним алфавитом {0,1}. Программы машин задаются списками
команд, а также ориентированными графами. В таких графах вершины соответствуют внутренним состояниям, а дуги определяют команды. Определяются правила, по которым машина отыскивает в программе требуемую для выполнения команду. Определяется понятие оптимального
порядка следования команд в программе машин Тьюринга. Для машин класса L0 указан оптимальный порядок следования команд.

Брест, БрГУ имени

О СЛОЖНОСТИ ВЫПОЛНЕНИЯ ОДНОЙ ОПЕРАЦИИ

ПОДСТАНОВКИ НА МАШИНЕ ТЬЮРИНГА

Гжегорчик определил возрастающую последовательность классов рекурсивных функций. Класс определяется как наибольший класс, включающий некоторые исходные функции и замкнутый относительно операций подстановки и ограниченной рекурсии. В данной работе рассматривается сложность выполнения одной из операций подстановки на машины Тьюринга. В качестве машина Тьюринга рассматривается машина с одной лентой, одной головкой и с внешним алфавитом из двух символов.

,

Брест, БрГУ имени

ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В статье рассмотрен операторный метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений, суть которого заключается в том, что от уравнения для независимой функции переходят к уравнению для ее изображения, которое будет не дифференциальным, а простым алгебраическим.
Затем, получив решение для изображения, находим по нему искомую функцию, используя обратное преобразование Лапласа. Таким образом, вначале применяется прямое преобразование, а затем – обратное. На конкретных примерах продемонстрирована методика их решения.

,

Брест, БрГУ имени

ПРИМЕНЕНИЕ ЛОКАЛИЗОВАННЫХ ДРОБНЫХ

ПРОИЗВОДНЫХ В ФОРМУЛЕ ТИПА ТЕЙЛОРА

В приложениях математики появился большой круг задач, в котором возникает проблема исследования функций непрерывных, но нигде не дифференцируемых. Примерами таких функций являются функции Гельдера. Интерес к функциям Гельдера связан с тем, что функции, имеющие в каждой точке порядок Гельдеровости β < 1, являются фракталами.
Примером таких функций служит функция Вейерштрасса. Применение
локальной дробной производной позволяет построить более простую
формулу типа Тейлора, имеющую только один член с дробной степенью и, что самое существенное, значительно ослабить требования на функцию.

,

Брест, БрГУ имени

ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО

И ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКОВ ОБОБЩЕННОЙ ИЕРАРХИИ

РИККАТИ В ОКРЕСТНОСТИ ПОДВИЖНОГО ПОЛЮСА

Обобщенную иерархию уравнения Риккати можно записать в виде

, (1)

где оператор имеет вид

(2)

В работе проводится исследование решений уравнений третьего

и четвертого

порядков иерархии в окрестности подвижного полюса.

Для данных уравнений найдены ряды Лорана с необходимым числом произвольных параметров; найденные ряды Лорана являются сходящимися.

,

Брест, БрГУ имени

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ СИСТЕМ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим систему вида

,

где − комплексные переменные; − полиномы относительно коэффициенты которых являются аналитическими функциями относительно Через и обозначены степени многочленов и по не содержащиеся в и . Нами найдены условия, при выполнении которых исследуемая система имеет единственное решение с подвижными полярными особыми точками или вовсе не имеет решений с подвижной существенно особой точкой, при приближении к которой хотя бы по некоторому пути все компоненты решения стремились бы к бесконечности.

Брест, БрГУ имени

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД АППРОКСИМИРУЮЩИХ

ПОЛИНОМОВ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ

ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА ВТОРОГО РОДА

В работе рассматривается модификация метода аппроксимирующих полиномов для приближенного решения интегрального уравнения Вольтерра второго рода, равносильного задаче типа Коши для нелинейного дифференциального уравнения с дробной производной Римана-Лиувилля порядка . С использованием свойств сумматорных операторов, ставящих в соответствие каждой непрерывной функции интерполяционные полиномы Лагранжа, дробных производных и интегралов Римана-Лиувилля получены условия существования приближенного решения указанного уравнения в виде полинома и оценка разности между точным и приближенным решениями.

Брест, БрГУ имени

О ПОЛИНОМИАЛЬНОМ РЕШЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ

ЗАДАЧИ КОШИ

Рассматривается задача нахождения непрерывно дифференцируемой на отрезке a ≤ x ≤ b вектор-функции u(x) = {u1(x), u2(x), … , um(x)}, удовлетворяющей нелинейному уравнению с дифференциальным оператором , х Î [a, b] и граничному условию u(a) = ua или аналогичной системе ОДУ с заданными начальными условиями ui(a) = uia, i = 1, … , m. Решается задача Коши для дважды дифференцируемой по u Î D функции f (x, u) с m = 1, a = 0, b = 1 параметрическим методом Ньютона.

,

Брест, БрГУ имени

ПОСТРОЕНИЕ ПРАВОСТОРОННЕЙ РЕЗОЛЬВЕНТЫ

ДЛЯ МОДЕЛЬНОГО КЛАССА ОТОБРАЖЕНИЙ

В данной статье строится резольвента для операторов взвешенного сдвига в пространстве вектор-функций . Операторы взвешенного сдвига имеют вид , где – обратимое непрерывное отображение. Построение резольвенты проводится с использованием устойчивого в положительном направлении и устойчивого в отрицательном направлении векториальных подмножеств.