Рис. 1
Граф для данной задачи приведен на рис. 2. Он строится в два этапа: сначала мы выбираем конверт, а потом марку.
Рис. 2
Следующие задачи ярко демонстрируют преимущества решения задач с помощью графа перед непосредственным перебором вариантов:
1.1. Ужасные грабители Кнопка и Скрепка решили украсть из сейфа золотой ключик Буратино. Для того чтобы открыть замок входной двери, им нужно подобрать двузначный код. Причем известно, что дверь запирает Буратино, который знает пока еще только 4 цифры: 1, 2, 3, 4. Сколько вариантов придется перебрать Кнопке и Скрепке, чтобы проникнуть в дом?
Решение: см. рис. 3.
Рис. 3
1.2. Проникнуть в дом – полдела. Кнопке и Скрепке нужно еще открыть сейф. Но сейф запирает папа Карло, а он знает все цифры. Сколько двузначных кодов нужно перебрать грабителям, чтобы открыть сейф?
Решение: см. рис. 4 Ребята легко найдут ответ и не вычерчивая граф полностью.
Рис. 4.
1.3. У ковбоя Джека две лошади: каурой и гнедой масти, два седла: красное и зеленое, две пары шпор: длинные и короткие, два револьвера: один марки «Кольт», другой – «Смит-и-Вессон». Сколькими способами Джек может экипироваться для конной прогулки по прериям?
Решение: см. рис. 5.
Рис. 5
1.4. Космический корабль «Циклоп» опустился на неизвестную планету Х звезды V созвездия Центавр. Планета оказалась обитаема и разделана океанами на три материка. Каждый материк выдвинул трех представителей для того, чтобы лететь с кораблем на Землю. Представителей первого материка зовут Ман, Зан, Сан, второго – Пын, Фын, Шин, третьего – Хыр, Кыр, Дыр. Но на «Циклопе» не хватит анабиозных ванн для девяти человек. Он может взять только трех. Сколько способов у инопланетян составить делегацию на Землю?
Решение: см. рис. 6.
Рис. 6
2 урок:
Задачи 1 урока позволяют естественно перейти к решению задач способом умножения.
Задача 1.
У Кролика две табуретки: красная и зеленая. К нему в гости пришли Винни-Пух и Пятачок. Сколькими способами он может рассадить гостей?
Решение: на красную табуретку может сесть или Пятачок, или Пух. В любом случае на оставшуюся табуретку сядет второй гость, т. е. всего два способа.
Задача 2.
В следующий раз в Кролику пришли три гостя: Винни-Пух, Пятачок и ослик Иа. Сколькими способами он может рассадить гостей на синей, красной и желтой табуретках?
Решение: сначала учащиеся решают задачу перебором. Затем учитель предлагает провести такие же рассуждения, как и в предыдущей задаче: на красную табуретку может сесть или Пух, или Пятачок, или Иа. Всего имеются 3 возможности. На синюю табуретку сядет один из двух оставшихся гостей. Ну а на желтую табуретку сядет тот гость, который не успел занять ни красную, ни синюю. Получается 3 · 2 · 1 = 6 способов.
Задача 3.
Сколькими способами Кролик может рассадить пять гостей на пяти разноцветных табуретках?
Решение: рассуждая аналогично предыдущей задаче, ребята получают ответ: 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 способов.
Учитель подводит итог: двух гостей на две табуретки можно рассадить 2 · 1 = 2 способами; трех гостей на три табуретки можно рассадить 3 · 2 · 1 = 2 способами; четырех гостей на четыре табуретки – 4 · 3 · 2 · 1 = 24 способами; пять гостей на пять табуреток – 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 способами.
Здесь уместно сообщить, что произведение 1 · 2 · 3 · 4 · 5 обозначается 5!, ввести термин «факториал» и предложить учащимсявычислить 6! и 7!
После решения задач второго урока можно вернуться к задачам 1 урока и решить их способом умножения.
3 урок:
На этом уроке можно рассмотреть блок задач, которые учащиеся могут решить способом умножения.
Задача 1.
На борту космического корабля «Циклоп» три пилота и два инженера. Сколькими способами можно составить экипаж разведывательного катера из одного пилота и одного инженера?
Ответ: шестью способами.
Задача 2.
В некотором городе у всех велосипедистов были трехзначные номера. Но велосипедисты попросили, чтобы в этих номерах не встречались цифры 0 и 8, потому что первая из них похожа на вытянутое колесо, ну а что для велосипедиста «восьмерка» колеса – знает каждый. Хватит ли им номеров, если в этом городе велосипеды имеют 710 человек?
Решение: для выбора цифры сотен номера имеется восемь возможностей, а именно 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9. Столько же возможностей для выбора цифры десятков и единиц. Всего номеров будет: 8 · 8 · 8 = 512. Так что на всех обладателей велосипедов их не хватит.
Задача 3.
Хватит ли номеров, если велосипедисты смягчат свои требования и согласятся на цифру 0?
Ответ: конечно, хватит. Номеров будет 9 · 9 · 9 = 729.
Задача 4.
В V классе изучаются восемь предметов. В среду пять уроков, и все различны. Сколькими способами можно составить расписание на среду?
Ответ: всего 8 · 7 · 6 · 5 · 4 = 6720 способов.
6. ЗАДАЧИ-ШУТКИ (2 ЧАСА)
6.1. - 6.2. Задачи–шутки
Цели: Формировать умение внимательно читать текст задачи, анализировать задачу.
На первом уроке можно рассмотреть задачи, правильное решение которых чаще всего не требует никаких дополнительных знаний, но в условии задачи расставлены ловушки.
Задача 1.
Поезд отправляется из Бостона в Нью-Йорк. Через час другой поезд отправляется из Нью-Йорка в Бостон. Оба поезда идут с одной и той же скоростью. Какой из них в момент встречи будет находиться на меньшем расстоянии от Бостона?
Задача 2.
Крыша одного дома не симметрична: один скат ее составляет с горизонталью угол 600, другой – угол 700. Предположим, что петух откладывает яйцо на гребень крыши. В какую сторону упадет яйцо: в сторону более пологого или крутого ската?
Задача 3.
а) Тройка лошадей проскакала 90 км. Сколько километров проскакала каждая лошадь?
б) На прямолинейном участке пути каждое колесо двухколесного велосипеда проехало 5 км. Сколько километров проехал велосипед?
Задача 4.
а) Сколько пальцев на двух руках? а на десяти руках?
б) Сколько концов у трех палок? у четырех с половиной палок?
Задача 5.
Найдите: а) два в квадрате; б) три в квадрате; в) угол в квадрате.
Задача 6.
Что легче: килограмм пуха или килограмм железа?
Задача 7.
Старинные задачи. а) Что дороже: вагон, наполненный золотыми монетами по 5 рублей, или половина вагона, наполненная золотыми монетами по 10 рублей?
б) Один человек купил трех коз и заплатил 3 рубля. Спрашивается: по чему каждая коза пошла?
Задача 8.
Старинная задача. Шел мужик в Москву и повстречал 7 богомолок; у каждой из них было по мешку, а в каждом мешке – по коту. Сколько существ направлялось в Москву?
Задача 9.
Сколько месяцев в году содержат 30 дней?
Задача 10.
Бюро прогнозов сообщило в 12 ч дня, что в Москве в ближайшую неделю сохранится безоблачная погода. Можно ли ожидать, что через 36 ч. в Москве будет светить солнце?
Задача 11.
Горело пять свечей, две погасли. Сколько свечей осталось?
Домашнее задание: Найти в дополнительной литературе задачи-шутки.
Второй урок можно провести в виде игры «Счастливый случай».
I.
а) Знакомство с командами (эмблема, девиз).
б) Представление жюри.
Конкурс болельщиков
1. Длина одной трети сосиски равна 5. Узнайте длину всей сосиски. Сколько сантиметров осталось, если быстро откусить от этой сосиски две пятых ее части?
[15 см, 9 см]
2. Когда сумма двух чисел равна их разности?
[Одно из слагаемых и вычитаемое равны нулю.]
3. В двух классах – 70 учеников. В одном из этих классов учащихся на 4 человека больше, чем в другом. Сколько учеников в каждом классе?
[33; 37]
4. Маша в два раза умнее Саши. Саша в три раза умнее Кати. Во сколько раз Катя глупее Маши?
[в 6 раз]
II. Разминка (ведущий каждой команды задает по 15 вопросов команде соперников).
Вопросы первой команде:
1. Число разрядов в классе?
[3]
2. Формула площади прямоугольника со сторонами а и b.
[S=ab.]
3. Единица измерения скорости на море?
[Узел.]
4. Как найти неизвестное делимое?
5. Может ли при умножении получиться 0?
[Да.]
6. Место, занимаемое цифрой в записи числа?
[Разряд.]
7. Объем 1 кг воды?
[1 л]
8. Чему равно произведение 13 · 25 · 0 · 0,1?
[0]
9. Что легче: 1 кг ваты или 1 кг железа?
[Одинаково.]
10. Бежала тройка лошадей. Каждая лошадь пробежала 5 км. Сколько километров проехал ямщик?
[5 км]
11. К однозначному числу, большему нуля, приписали такую же цифру. Во сколько раз увеличилось число?
[В 11 раз.]
12. Как найти неизвестное уменьшаемое?
13. Площадь прямоугольника 36 см2. Чему равна сторона квадрата с такой же площадью?
[6 см]
14. Что больше 34 · 54 или 43 · 55?
[43 · 55]
15. Как назвать одним словом сумму длин всех сторон многоугольника?
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 |
