Программа спецкурса по математике "Логическая математика" (стр. 9 )

Домашнее задание:

Задача 1.

       Учительница объявила результаты диктанта. Больше всех ошибок было у Пети – 13. Докажите, что среди 28 учащихся, допустивших ошибки, найдутся 3 человека с одинаковым числом ошибок.

Задача 2.

       В первенстве по футболу участвует 18 команд. Первенство разыгрывается в один круг, любые две команды встречаются только один раз. Известно, что каждая команда сыграла какое-то число игр. Докажите, что найдутся две команды, сыгравшие одинаковое число игр.

8. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИГРЫ (2 ЧАСА)

8.1. - 8.2. Математические игры

Цели: Формировать умение применять математические знания в играх.

       На первом уроке, на примере игры «Битва чисел» показать, что можно просчитать с помощью математических приёмов.

       В игру «Битва чисел» играют двое. Первый играющий называет любое натуральное число от 1 до 10. Второй может прибавить к названному любое число, тоже от 1 до 10, после этого первый прибавляет любое число от 1 до 10 и т. д. Выигрывает тот, кто первый назовет заранее условленное число (например, 105). Можно условиться прибавлять и, скажем, числа, не превосходящие 20 или 15.

       В большинстве случаев у начинающего есть способ игры, обеспечивающий ему выигрыш. Пусть прибавляются числа от 1 до 10, а надо получить сумму 105. Начинающий называет число, например, 4, а после того как второй добавит  к нему какое-то число от 1 до 10, прибавляет такое, чтобы получилось 15 (например, после добавления 6 прибавляет 5). Потом он называет числа 25, 35 и т. д., пока не назовет первым 105.

       Затем предложить учащимся в парах поиграть в эту игру.

       На втором уроке показать как записывать числа в двоичной системе счисления. Это необходимо для объяснения игры «Ним».

       Несколько столетий тому назад была распространена игра в «Ним». Двое играющих клали три кучки камней или бобов. Каждый игрок мог при своем ходе выбрать сколько угодно камней из одной кучки. Выигрывал тот, кто взял последний камень. Если в двух кучках камней поровну, то выигрывает начинающий: он берет всю третью кучку, а когда второй игрок возьмет несколько камней из какой-то оставшейся кучки, берет столько же камней из другой оставшейся кучки.

       А как играть, если во всех кучках разное число камней? Оказывается, здесь ответ дает двоичная система счисления. Запишем в этой системе число камней в каждой кучке. Посмотрим теперь, сколько единиц в каждом разряде. Например, если числа камней в кучках равны соответственно 3, 4 и 6, то эти числа в двоичной системе записываются так: 11, 100, 110. В разряде сотен у нас две единицы (у второго и третьего числа), в разряде десятков тое две, а в разряде единиц лишь одна единица (у первого числа). Назовем комбинацию чисел выигрывающей, если в каждом разряде четное число единиц (то есть либо их нет совсем, либо ровно две). Искусство игры в «Ним» состоит в том, чтобы передавать противнику каждый раз такую выигрывающую комбинацию. Например, если числа камней в кучках равны 3, 4 и 6, то надо исправить лишь положение дел в разряде единиц. Для этого берем один камень из первой кучки и передаем противнику комбинацию 2, 4, 6. В двоичной системе она записывается так: 10, 100, 110. Теперь в разрядах сотен и десятков по две единицы, а в разряде единиц ни одной единицы. Значит, это комбинация выигрывающая.

       Партнер не может перейти от выигрывающей комбинации к другой выигрывающей и обязательно своим ходом нарушает равновесие единиц. Тогда вы своим ходом восстанавливаете это равновесие и снова передаете ему выигрывающую комбинацию. Например, если, получив комбинацию 2, 4, 6, партнер возьмет один камень из третьей кучки, то получится 2, 4, 5, или в двоичной системе счисления: 10, 100, 101. Беря теперь один камень из первой кучки, получаем комбинацию 1, 4, 5, то есть 1, 100, 101, которая снова выигрывающая. И так идет игра, пока вы не дойдете до выигрывающей комбинации 0, 0, 0, то есть пока вы не возьмете последний камень.

       Разумеется, переводить во время игры в уме числа в двоичную систему счисления довольно сложно. Поэтому запоминают выигрывающие комбинации чисел, которые надо передавать партнеру.

9. ГЕОМЕТРИЯ НА КЛЕТЧАТОЙ БУМАГЕ (3 ЧАСА)

9.1. Рисование на клетчатой бумаге

Цели: Формировать у учащихся пространственное представление и воображение.

       На уроке рассмотреть задачи на рисование геометрических фигур, составление паркетов. Решая такие задачи, учащиеся узнают многое о свойствах геометрических фигур.

Задача 1.

       Перерисуйте в тетрадь по клеткам орнаменты, изображенные на рисунке.

а)                                                б)                                                        

       

Задача 2.

       Перерисуйте в тетрадь по клеткам геометрические тела, изображенные на рисунке.

Задача 3.

       Плоскость можно замостить равными прямоугольниками. Придумайте два паркета из равных прямоугольников.

Задача 4.

       Придумайте, как можно замостить плоскость паркетом из равных пятиугольников вида: 

9.2. Разрезание фигур на равные части

Цели: Формировать у учащихся пространственное представление и воображение.

       На уроке рассмотреть задачи на разрезание фигур на равные части. На примере задачи 1 показать как делить квадрат на 2 равные части.

Задача 1.

       Квадрат содержит 16 клеток. Разделите квадрат на 2 равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток. (Способы разрезания считаются различными, если части квадрата, полученные при одном способе разрезания, не равны частям, полученным при другом способе).

Указания к решению: 

       Найти несколько решений этой задачи не так уж сложно. На рисунке 1 показаны некоторые низ них. Правда, различных решений среди них только три – решения б) и в) одинаковые, так как полученные в них фигуры можно совместить при наложении.

       Заметим, что ломаная, делящая квадрат на две равные части, симметрична относительно центра квадрата. Это наблюдение позволяет шаг за шагом рисовать ломаную с двух концов. Например, если начало ломаной в точке А, то конец в точке В (рис.2).

       Убедитесь, что начало и конец ломаной можно нарисовать только двумя различными способами, показанными на рисунке 2. Любую ломаную, делящую квадрат на две равные части в соответствии с условием задачи, можно повернуть так, что ее начало и конец попадут в указанные точки А и В.

       Чтобы не потерять какие-либо решения, можно придерживаться такого правила. Если следующее звено ломаной можно нарисовать двумя способами (например, на рисунке 2а), то сначала нужно заготовить второй такой же рисунок и выполнить этот шаг на одном рисунке первым, а на втором рисунке – вторым способом (на рисунке 3 показаны два продолжения для рисунка 2а). Аналогично нужно поступать, когда способов не два, а три.