Задачи по планиметрии Методические указания (стр. 10 )

3. В равнобедренной трапеции диагональ делит угол при нижнем основании пополам. Нижнее основание в 2 раза больше верхнего. Найти нижнее основание трапеции, зная, что ее площадь равна .

4. Острый угол прямоугольной трапеции равен 30є, сумма длин ее боковых сторон равна 12. Найти площадь трапеции, если известно, что ее меньшее основание равно .

5. В равнобедренную трапецию, верхнее основание которой равно 1, вписана окружность радиуса 1. Найти площадь трапеции.

6. Найти диагональ равнобедренной трапеции с основаниями а=20 и b=5,6, если известно, что центр описанной окружности лежит на нижнем основании.

7. Средняя линия трапеции равна 5. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия делит трапецию на две части, отношение площадей которых равно 7:13. Найти длину высоты трапеции.

Ответы к тестам

№ вари-анта	1	2	3	4	5	6	7
1	10	135є	156	44	156		15
2	12		12		5	16	4

3.7. Многоугольник

Вариант № 1

1. Точки А и В разделяют окружность на две дуги, меньшая из которых равна 140є, а большая точкой М делится в отношении 6:5, считая от точки А. Найти угол ВАМ.

2. Стороны одного четырехугольника равны 10, 15, 20 и 25, а в подобном ему четырехугольнике сумма наибольшей и наименьшей сторон равна 28. Определить большую сторону второго четырехугольника.

3. Два правильных многоугольника таковы, что число сторон их относится как 3:4, а внутренний угол первого относится к внутреннему углу второго как 14:15. Найти число сторон первого многоугольника.

4. Вычислить площадь восьмиугольника, описанного около окружности радиуса, равного 15.

5. Из точки К, лежащей на окружности, проведены касательная к окружности и хорда КА. Угол между ними равен 60є. Найти длину меньшей дуги, отсекаемой хордой КА, если радиус окружности равен .

6. Из точки, взятой на окружности радиуса 6, под углом 90є проведены друг к другу две равные хорды АВ и ВС. Определить площадь части круга, ограниченной этими хордами и дугой ВС.

7. Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на диаметр, делит его на отрезки, разность которых 18. Длина перпендикуляра равна 12. Найти диаметр.

8. Из точки А окружности проведены диаметр АВ и хорда АС, которая продолжена за точку С на расстояние СК, равное АС. Найти ВС, если КВ=10 и .

Вариант № 2

1. Окружность радиуса 2 разогнута в дугу радиуса 15. Найти центральный угол (в градусах).

2. В окружность диаметра 1 вписан четырехугольник ABCD, у которого угол D прямой, АВ=ВС. Найти площадь четырехугольника ABCD, если его периметр равен .

3. Если число сторон некоторого правильного многоугольника увеличить на четыре, то внутренние углы нового правильного многоугольника будут на 1є больше углов данного. Сколько сторон имеет последний?

4. Разность между площадью круга и площадью вписанного в него квадрата равна . Найти площадь правильного шестиугольника, вписанного в этот круг.

5. В окружность радиуса из одного конца диаметра проведена касательная, а из другого – хорда, стягивающая дугу 120є. Хорда продлена до пересечения с касательной. Найти внешний отрезок секущей.

6. В круговой сектор, дуга которого содержит 60є, вписан круг. Найти отношение площади сектора к площади этого круга.

7. Из точки, взятой на окружности, проведены две взаимно перпендикулярные хорды. Отрезок, соединяющий середины этих хорд, равен 12. Вычислить радиус окружности.

8. В окружность радиуса из одного конца диаметра проведена касательная, а из другого – хорда, стягивающая дугу 120є. Хорда продолжена до пересечения с касательной. Найти внешний отрезок секущей.

Ответы к тестам

№ вари-анта	1	2	3	4	5	6	7	8
1	50є	21	9	746	2	92,52	30	5
2	48		36	9	1		12	1

§4. Тесты по планиметрии на каждую геометрическую фигуру 3-го уровня сложности

Структура теста:

1. Прямоугольный треугольник.

2. Равносторонний треугольник.

3. Равнобедренный треугольник.

4. Произвольный треугольник.

5. Ромб, параллелограмм.

6. Трапеция.

7. Взаимное расположение окружностей, углов и треугольников.

Вариант № 1

1. В прямоугольном треугольнике АВС биссектриса AD острого угла А делится центром О вписанной окружности в отношении . Найти величину меньшего острого угла треугольника.

2. Внутри равностороннего треугольника с площадью 64 взята точка, расстояние которой до стороны относится как 1:4:7. Определить площадь треугольника, образованного прямыми, соединяющими основания перпендикуляров, проведенных из данной точки до стороны.

3. В равнобедренном треугольнике равные стороны по 20, основание 24. Найти расстояние между ортоцентром и центром тяжести треугольника.

4. В треугольнике АВС: , . Найти угол В.

5. В ромб со стороной и острым углом 60є вписана окружность. Определить площадь четырехугольника, вершинами которого являются точки касания окружности со сторонами ромба.

6. В равнобедренную трапецию вписана окружность, центр которой – точка О удалена от вершины А на 4, а от вершины В – на 3. Найти большее основание трапеции.

7. Площадь треугольника АВС равна , а угол ВАС равен 60є. Радиус окружности, касающейся стороны АС и продолжения сторон ВА и ВС равен . Найти угол АСВ.

Вариант № 2

1. Гипотенуза Ав прямоугольного треугольника АВС является хордой окружности радиуса 10. Вершина С лежит на диаметре окружности, который параллелен гипотенузе. Угол САВ составляет 75є. Найти площадь треугольника АВС.

2. Один из углов треугольника равен 60є, а длина высоты, опущенной на одну из сторон, образующих этот угол, равна 3. Найти площадь треугольника, если радиус вписанного в него круга равен 1.

3. В равнобедренный треугольник АВС (АВ=ВС) вписана окружность. Прямая, параллельная стороне АВ и касающаяся окружности, пересекает сторону АС в точке М такой, что . Найти радиус окружности, если периметр треугольника АВС равен 20.

4. Боковые стороны треугольника равны 3 и 6. Из точки пересечения биссектрисы угла, заключенного между данными сторонами с третьей стороной, проведены прямые, параллельные данным сторонам. Определить периметр образовавшегося четырехугольника.

5. Вычислить площадь общей части двух ромбов, если диагонали первого равны 2 и 3, а второй получен поворотом первого на 90є около его центра.

6. Длины оснований трапеции равны 4 и 2, а один из углов при большем основании составляет 60є. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Найти радиус этой окружности.

7. Центр окружности, касающейся стороны ВС треугольника АВС в точке В и проходящей через точку А, лежит на стороне АС. Найти площадь треугольника АВС, если известно, что ВС=6, АС=9.

Ответы к тестам

№ вари-анта	1	2	3	4	5	6	7
1	30є	13		45є	9	6,4	30є
2	40			8