Задачи по планиметрии Методические указания (стр. 7 )

3. Площадь ромба 18, острый угол 30є. Найти периметр ромба.

4. Сторона ромба равна 25, одна из диагоналей равна 40. Найти площадь ромба.

5. Периметр ромба равен 40, а расстояние между двумя сторонами равно 6. Найти площадь ромба.

6. Сторона ромба 8, радиус вписанной окружности равен 2. Найти величину острого угла.

Ответы к тестам

№ вари-анта	1	2	3	4	5	6
1	13	12	24	600	60	30є

2.7. Трапеция

Структура теста:

1. Средняя линия.

2. Площадь.

3. Равнобедренная трапеция.

4. Прямоугольная трапеция.

5. Окружность, вписанная в трапецию.

6. Окружность, описанная около трапеции.

7. Подобие.

На выполнение теста отводится 15 мин.

Вариант № 1

1. Найти среднюю линию трапеции, если площадь равна 100, а высота равна 25.

2. В равнобедренной трапеции основания 20 и 30, а угол при основании 45є. Найти площадь трапеции.

3. Найти площадь равнобедренной трапеции, если ее основания 16 и 30, а диагонали взаимно перпендикулярны.

4. Найти площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны 6 и больший угол 135є.

5. Найти длину боковой стороны равнобедренной трапеции, описанной около круга, если угол при ее основании 30є, а площадь трапеции равна 18.

6. Около равнобедренной трапеции с боковой стороной, равной 6, описана окружность, центр которой находится на нижнем основании трапеции. Диагональ трапеции равна 8. Найти нижнее основание.

7. Стороны AB и Cd равнобедренной трапеции ABCD продолжены до пере-сечения в точке К. Найти КВ, если основания трапеции равны 8 и 2, а боковая сторона 5.

Ответы к тестам

№ вари-анта	1	2	3	4	5	6	7
1	4	125	529	54	6	10

2.8. Произвольный четырехугольник. Многоугольник. Окружность, круг и его части

Структура теста:

1. Центральные и вписанные углы.

2. Произвольный четырехугольник (площадь, подобие).

3. Количество сторон и величина углов многоугольника.

4. Площадь многоугольника.

5. Нахождение длины дуги, ограничивающей сектор.

6. Площадь сектора.

7. Свойства хорд, пересекающихся в круге.

8. Свойства касательной и секущей.

На выполнение теста отводится 20 мин.

Вариант № 1

1. Найти вписанный угол АВС, если дуга АС, на которую он опирается, равна 132є.

2. Найти площадь четырехугольника, диагонали которого 12 и 8 и угол между ними 30є.

3. Сумма внутренних углов правильного многоугольника равна 720є. Найти число его сторон.

4. Найти площадь правильного шестиугольника со стороной, равно .

5. В окружность радиуса . Найти длину дуги, содержащей 100є.

6. Площадь кругового сектора с центральным углом 20є равна 2р. Найти радиус сектора.

7. Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. Найти ED, если АЕ=5, ВЕ=2, СЕ=2,5.

8. Через точку А проведены касательная АВ (В – точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках С и D. Найти CD, если АВ=4, АС=2.

Ответы к тестам

№ вари-анта	1	2	3	4	5	6	7	8
1	76є	24	6	18	4	60	4	6

§3. Тесты по планиметрии на каждую геометрическую фигуру 2-го уровня сложности

3.1. Прямоугольный треугольник

Вариант № 1

1. Катет прямоугольного треугольника более другого катета на 10 и меньше гипотенузы на 10. Найти гипотенузу этого треугольника.

2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна , а тангенс острого угла б, tgб=. Найти площадь треугольника.

3. В прямоугольном треугольнике острый угол б, sinб=, сумма прилежащего катета и его проекции на гипотенузу равна 36. Найти площадь треугольника.

4. Около круга радиуса 2 описан прямоугольный треугольник с катетом 5. Найти гипотенузу треугольника.

5. Длина одного из катетов прямоугольного треугольника равна 12. Расстояние от центра описанной около треугольника окружности до этого катета равна 2,5. Найти длину гипотенузы.

6. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 11 больше другого. Найти гипотенузу, если катеты треугольника относятся как 6:5.

7. В прямоугольном треугольнике АВС () проведены медианы острых углов АМ и BN, которые пересекаются в точке О. Найти площадь треугольника СОВ, если АС=8, АВ=10.

8. В прямоугольном треугольнике с острым углом в=30є и прилежащим катетом а=16 cos15є проведена биссектриса прямого угла. Найти ее длину.

9. В прямоугольный треугольник вписан квадрат, вершина которого совпадает с вершиной прямого угла треугольника. Найти площадь треугольника, если один из его катетов равен 42, а сторона квадрата – 24.

10. В прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5 вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Найти 2Р, где Р – периметр квадрата.

Вариант № 2

1. Катет прямоугольного треугольника меньше гипотенузы на 8, другой катет равен 20. Найти длину гипотенузы треугольника.

2. В прямоугольном треугольнике косинус острого угла равен , а сумма длин прилежащего катета и гипотенузы равна 24. Найти площадь треугольника.

3. В прямоугольном треугольнике острые углы относятся как 1:2. Больший катет равен . Найти площадь круга, описанного около треугольника.

4. В прямоугольном треугольнике катеты относятся как 4:3, а гипотенуза равна 10. Найти радиус вписанного круга.

5. Радиусы вписанной и описанной окружностей равны соответственно 2 и . Найти площадь треугольника.

6. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3:4. Найти периметр треугольника, если высота, опущенная на гипотенузу, равна 12.

7. В прямоугольном треугольнике АВС () проведены медианы острых углов, которые пересекаются в точке О. Найти площадь треугольника АВО, если АВ=13, АС=12.

8. Биссектриса прямого угла делит прямоугольный треугольник с острым углом 30є на два треугольника. Найти отношение площадей этих треуголь-ников.

9. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а расстояние от ее середины до одного из катетов вдвое меньше, чем до другого. Найти площадь треугольника.

10. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник таким образом, что он имеет с треугольником общий прямой угол. Периметр этого прямоугольника равен 25. Найти удвоенную длину катета треугольника.

Вариант № 3

1. Длина гипотенузы Ас прямоугольного треугольника АВС на 8 больше длины катета ВС, а длина катета АВ на 1 меньше длины катета ВС. Найти длину катета АВ.

2. Синус острого угла прямоугольного треугольника равен , а сумма длин противолежащего катета и гипотенуза равна 18. Найти длину гипотенузы.

3. Периметр прямоугольного треугольника равен 24, а гипотенуза равна 10. Найти площадь треугольника.

4. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса 4. Найти периметр треугольника, если его гипотенуза равна 26.

5. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна . Найти гипотенузу, если один из катетов равен 8.

6. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 30є. Найти отношение радиусов вписанной и описанной около треугольника окружностей.

7. В прямоугольном треугольнике длины медиан острых углов равны и . Найти длину гипотенузы треугольника.

8. Точка на гипотенузе, равноудаленная от обоих катетов, делит гипотенузу на отрезки 30 и 40. Найти больший катет.

9. В прямоугольный треугольник с катетами 4 и 12 вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Найти периметр квадрата.

10. Площадь равностороннего треугольника, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, вдвое больше площади последнего. Определить меньший угол прямоугольного треугольника.

Ответы к тестам

№ вари-анта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	50	150	13	6	8	1176	15
2	29	54	5	2	30	10	6	20	25
3	20	10	24	60	16		14	56	6	30є

3.2. Треугольники