Задачи по планиметрии Методические указания (стр. 5 )

5. Треугольник АВС подобен треугольнику А1В1С1. Периметр А1В1С1=12. . Найти периметр треугольника АВС.

6. Углы, образованные диагоналями ромба с его сторонами, относятся как 4:5. Найти больший угол ромба.

7. Стороны параллелограмма равны 5 и 8. Меньшая диагональ параллелограмма равна 7. Найти острый угол параллелограмма.

8. Длина средней линии трапеции равна 5,6, длина высоты равна 10. Найти площадь трапеции.

9. Около круга, с длиной окружности, равной 4π, описана равнобочная трапеция с площадью 20. Определить периметр трапеции.

10. Длины сторон треугольника 3, 5 и 7. Найти угол, лежащий против большей стороны.

11. Около треугольника с основанием 8 и синусом угла при вершине, равным , описана окружность. Определить ее диаметр.

12. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой 18 из вершины прямого угла проведена высота, длина которой равна . Найти большую из проекций катетов на гипотенузу.

13. АК – биссектриса треугольника АВС. Найти АС, если АВ=12, КС=14, ВК=8.

14. Стороны треугольника равны 5, 12, 13. Найти радиус вписанной в треугольник окружности.

15. Диаметр АВ перпендикулярен хорде CD, М – точка их пересечения. Найти диаметр АВ, если АМ=4; СМ=8.

Ключи к тестам

№ вари-анта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
1	25	11,25	8	6	12	8	12	40	75	21	6	12	6	16	3
2	12	54	16	9	10	36	24	7	32	30є	6	12	5	24	6
3	24	30	11	12	48	54	9	60	6	60є	4	6	9	10	80
4	4	16	96	6	1	8	88	32	10	30є	12	4	9	8	128є
5	2	8	8	24	16	9	80	408	15	13	16	8	34	12	60є
6	60	16	6	4	84	16	14	12	48	7	16	4	2	20	6
7	13	5	2	4	4	30є	5	256	25	3	2	5	18		6
8	30	24	12	6	10	5	30є	45	9	9	18	5	15	2	8
9	9	96	36	2	14	6	60	7	6	6	8	10	6	45	90є
10	8	6	5	3	16	100є	60є	56	20	120є	10	16	21	2	20

§2. Тесты по планиметрии на каждую геометрическую фигуру 1-го уровня сложности

2.1. Прямоугольный треугольник

Структура теста:

1. Теорема Пифагора.

2-3. Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

4. Прямоугольный треугольник, описанный около окружности.

5. Прямоугольный треугольник, вписанный в окружность.

6. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике.

7. Медиана.

8. Биссектриса.

9. Подобие.

10. Комбинированные фигуры.

На выполнение теста отводится 20 мин. Оценка вычисляется по формуле:

,

где n – количество правильно решенных задач.

Вариант № 1

1. Гипотенуза прямоугольника равна 5, а длина одного из катетов . Найти длину другого катета.

2. В прямоугольном треугольнике катет равен 12, а тангенс прилежащего угла равен . Найти площадь треугольника.

3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна , а острый угол равен 30є. Найти площадь треугольника.

4. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 12,5, а разность между длинами катетов равна 5. Найти периметр треугольника.

5. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 25, а один из катетов 15. Найти радиус вписанного круга.

6. Высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки и . Найти ее длину.

7. В прямоугольном треугольнике медиана, опущенная на гипотенузу, равна одному из катетов. Найти больший острый угол треугольника.

8. В прямоугольном треугольнике биссектриса СК прямого угла делит гипотенузу АВ на отрезке и . Длина катета АС=6. Найти периметр треугольника.

9. В прямоугольном треугольнике, площадь которого равна 50, параллельно одному из катетов проведена прямая, которая разделила другого катет в отношении 2:3, считая от вершины прямого угла. Найти площадь треугольника, отсекаемого этой прямой.

10. В прямоугольный треугольник с углом 60є вписан ромб так, что угол 60є у них общий, а остальные три вершины лежат на сторонах треугольника. Найти длину гипотенузы, если сторона ромба равна 8.

Вариант № 2

1. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна . Найти площадь треугольника.

2. В прямоугольном треугольнике острый угол 60є и прилежащий катет . Найти площадь треугольника.

3. В прямоугольном треугольнике катет равен 24, а противолежащий угол 60є. Найти длину высоты, опущенной на гипотенузу.

4. В прямоугольном треугольнике острые углы относятся как 1:2. Больший катет равен . Найти радиус описанной окружности.

5. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна10, а один из катетов равен 8. Найти радиус вписанной окружности.

6. Высота, проведенная из вершины прямого угла треугольника, равна 8 и делит гипотенузу на части, длина одной из которых равна 2. Найти длину гипотенузы.

7. В прямоугольном треугольнике длина катета равна длине медианы, проведенной гипотенузе. Гипотенуза равна . Найти площади образовавшихся треугольников.

8. В прямоугольном треугольнике АВС () проведена биссектриса острого угла В. Найти , где – длина наибольшей из частей катета, на которые разбивает сторону биссектриса угла.

9. В прямоугольном треугольнике АВС через середины сторон АС=6 и ВС=10 проведена прямая MN. Найти площадь треугольника AMN.

10. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат таким образом, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другие – на катетах. Сторона квадрата равна 3. Найти длину гипотенузы.

Ответы к тестам

№ вари-анта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	2	36	54	60	5	2	60є	24	18	12
2	18	24	12	6	2	18	3	40	6	9

2.2. Правильный треугольник

Структура теста:

1. Зависимость между углами и сторонами.

2. Площадь треугольника.

3. Окружность, вписанная в треугольник.

4. Описанная окружность.