Министерство путей сообщения
Российской федерации
Ростовский государственный университет
путей сообщения
ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
Методические указания
Ростов-на-Дону
2002
УДК 513(07)+06
Задачи по планиметрии: Методические указания.– Ростов н/Д: Рост. гос. ун-т путей сообщения. 2002. – 56 с.
Методические указания призваны помочь лицам, изучающим планиметрию, овладеть базовым объемом знаний по геометрии на плоскости, приобрести навыки в применении формул и теорем планиметрии.
Методические указания рассчитаны прежде всего на учащихся девятых классов средней школы, готовящихся к поступлению в гимназии, лицеи и колледжи. Кроме того, настоящие методические указания могут быть полезны абитуриентам, учителям и репетиторам.
Ил. 17
Рецензент: канд. физ.-мат. наук (РГУПС)
Задачи по планиметрии
Методические указания
Редактор
Техническое корректирование и корректура
Подписано в печать 5.10.02. Формат 60×84/16.
Бумага офсетная. Ризография. Усл. печ. л. 3,25.
Уч.-изд. л. 2,88. Тираж 60. Изд. № 000. Заказ № 000.
Ростовский государственный университет путей сообщения.
Лицензия ЛР № 65-54 от 10.12.99.
Ризография РГУПС. Лицензия ПЛД № 65-10 от 10.08.99.
Адрес университета: 344038, Ростов н/Д, пл. Народного ополчения, 2
© Ростовский государственный университет путей сообщения, 2002
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Основные формулы
§1. Тесты по планиметрии 1-го уровня сложности
§2. Тесты по планиметрии на каждую геометрическую фигуру 1-го уровня сложности
2.1 . Прямоугольный треугольник
2.2 . Правильный треугольник
2.3 . Треугольники
2.4 . Квадрат и прямоугольник
2.5 . Параллелограмм
2.6 . Ромб
2.7 . Трапеция
2.8 . Произвольный четырехугольник. Многоугольник. Окружность, круг и его части
§3. Тесты по планиметрии на каждую геометрическую фигуру 2-го уровня сложности
3.1 . Прямоугольный треугольник
3.2 . Треугольники
3.3 . Параллелограмм
3.4 . Ромб
3.5 . Квадрат и прямоугольник
3.6 . Трапеция
3.7 . Многоугольник
§4. Тесты по планиметрии на каждую геометрическую фигуру 3-го уровня сложности
ВВЕДЕНИЕ
Решение задач по геометрии вызывает у учащихся большие трудности. Это происходит из-за многообразия видов задач и отсутствия общей методики их решения. Кроме того, при их решении требуется знание большого количества определений, теорем, формул. Данные методические указания призваны помочь учащемуся «выучить» формулы, приобрести навыки в их применении, а затем, овладев базовыми материалом, научиться решать более сложные задачи по планиметрии.
Методические указания рассчитаны в первую очередь на учащихся девятых классов, готовящихся к поступлению в гимназии, лицеи и колледжи. Однако в виду того, что геометрические задачи часто содержатся в билетах вступительных экзаменов в вузы, настоящее пособие может быть также полезно учащимся 10–11-х классов, абитуриентам, учителям и репетиторам.
В методических указаниях содержатся теоретические сведения, формулы, которые необходимо выучить, прежде чем приступить к выполнению заданий. Тестовые задания составлены на каждую геометрическую фигуру отдельно и по всем фигурам в целом.
Желая проверить свои знания по всему разделу планиметрии, нужно выполнить тест по всем геометрическим фигурам и, в случае допущенной ошибки, например, на тему «прямоугольный треугольник», найти и решить тест именно на эту геометрическую фигуру. Если же базовых знаний нет, то лучше изучить каждую геометрическую фигуру отдельно, выполнить по ней тест 1-го уровня, а затем перейти к обобщающему тесту.
Задания составлены по трем уровням сложности. Первый уровень соответствует умению «узнавать» необходимые стандартные формулы. Задачи второго уровня решаются, как правило, в несколько действий и направлены на понимание формул. Тесты третьего уровня соответствуют умению применять формулы. Четкой границы между заданиями 1–2, 2–3 уровней не существует. Тем не менее, только усвоив формулы, т. е. выполнив тесты первого уровня, можно переходить к тестам второго уровня сложности. Ко всем заданиям сборника приведены ответы.
Пособие особенно полезно тем, кто по той или иной причине не имеет возможности заниматься на подготовительных курсах под руководством опытного преподавателя.
Основные формулы
Введем обозначения:
a, b, c – длины сторон;
α, β, γ – величины внутренних углов;
ha, hb, hc – длины высот, опущенных на соответствующие стороны;
ma, mb, mc – длины медиан;
S – площадь;
R – радиус описанной окружности;
r – радиус вписанной окружности;
P – периметр;
p – полупериметр;
la – биссектриса угла А;
d1, d2 – диагонали четырехугольника.
Треугольники (рис. 1)
1) 
;
2) 
;
3) 
(формула Герона);
4) 
;
5) 
;
6) 
(теорема синусов);
7) 
(теорема косинусов);
8) 
;
9) 
(BD – биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, длины которых пропорциональны длинам прилежащих сторон) (рис. 1).
При решении задач, связанных с треугольниками, очень часто используются следующие свойства:
Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит в точке пересечения биссектрис; центр окружности, описанной около треугольника, лежит в точке пересечения перпендикуляров к серединам его сторон; медианы треугольника пересекаются в одной точке (центре тяжести). Точка их пересечения делит каждую медиану на отрезки, длины которых относятся как 2:1, считая от соответствующей вершины треугольника.Важную роль при решении задач играют три признака подобия треугольников (рис. 2):
если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны; если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы, заключенные между ними, равны, то такие треугольники подобны; если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
, 
.
Вспомним еще одно полезное утверждение: средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна половине ее длины.
Прямоугольный треугольник (рис. 3)
; 
.
, 
, 
.
, 
.
; 
; 
; 
.
Свойство перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу (рис. 4)
Обозначим AD=ас, DB=bc – проекции катетов a и b на гипотенузу:
,
,
,
Равносторонний (правильный) треугольник (рис. 5)
OD=r, 
,
OB=R, 
,
, R=2r,
.
Четырехугольники
Параллелограмм (рис. 6)
,
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
