Задачи по планиметрии Методические указания (стр. 8 )

Вариант № 1

1. Вычислить площадь правильного треугольника, 6если сумма длин всех сторон и высоты равна .

2. Найти высоту равнобедренного треугольника, у которого угол при основании равен 30є, а площадь треугольника равна .

3. В равнобедренный треугольник с основанием 6 и боковой стороной 5, вписан круг. Найти диаметр этого круга.

4. В равнобедренном треугольнике высота равна 20, а боковая сторона . Найти радиус описанного круга.

5. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120є, боковая сторона треугольника равна 8. Найти диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

6. Стороны треугольника равны 30, 50 и 70. Найти угол, лежащий против большей стороны.

7. В равнобедренном треугольнике центр вписанного круга делит высоту в отношении 8:5, а боковая сторона равна 40. Найти основание.

8. Длины двух сторон треугольника равны 27 и 29. Длина медианы, проведенной к третьей стороне, равна 26. Найти высоту треугольника, проведенную к стороне длиной 27.

9. Сходственные стороны двух подобных треугольников соответственно равны 20 и 8, а разность их периметров равна 30. Определить периметр большего треугольника.

10. Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АС=12 и боковой стороной 18. Отрезки какой длины нужно отложить от вершины В на его боковых сторонах, чтобы соединив их концы, получить трапецию с периметром 40?

Вариант № 2

1. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник равен . Через центр окружности проведена прямая параллельная одной из сторон треугольника. Найти отрезок этой прямой, заключенной между двумя другими сторонами треугольника.

2. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 30є, а сумма длин боковой стороны и высоты равна . Найти площадь треугольника.

3. Найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием 16 и высотой 4.

4. Стороны треугольника равны 14, 6 и 16. Найти , где R – радиус описанной около треугольника окружности.

5. Пусть BD – высота треугольника АВС, точка Е – середина стороны ВС. Вычислить радиус круга, описанного около треугольника BDE, если длины сторон треугольника АВС: АВ=30, ВС=26 и АС=28.

6. Две стороны треугольника 13 и 14. Площадь треугольника равна 84. Найти периметр треугольника.

7. Биссектриса угла В треугольника АВС делит сторону АС на отрезки, длины которых 28 и 12. Найти периметр треугольника АВС, если АВ-ВС=18.

8. В равнобедренном треугольнике основание равно , а тангенс угла при основании равен . Найти длину медианы, проведенной к боковой стороне.

9. Длина основания треугольника равна . Прямая, параллельная основанию, делит площадь треугольника на две равновеликие части. Найти длину отрезка этой прямой, заключенной между сторонами треугольника.

10. В треугольник вписан параллелограмм, угол которого совпадает с углом треугольника. Стороны треугольника, заключающие этот угол, равны 4 и 6, а соответственно параллельные им стороны параллелограмма относятся как 2:1. Определить большую сторону параллелограмма.

Вариант № 3

1. В правильном треугольнике со стороной проведена средняя линия MN параллельно АС. Через вершину А и середину MN проведена прямая до пересечения с ВС в точке D. Найти длину AD.

2. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 30є, а сумма длин основания и высоты, опущенной на боковую сторону, равна . Найти площадь треугольника.

3. В треугольник вписана окружность радиуса 3. Одна из сторон треугольника делится точкой касания на отрезки длиной 3 и 5. Найти периметр треугольника.

4. В равнобедренном треугольнике углы при основании 30є, а высота, опущенная на это основание, равна 3. Найти радиус описанной окружности.

5. В треугольнике АВС: ; , длина стороны . Найти длину стороны ВС.

6. Площадь треугольника АВС равна 24. Найти квадрат стороны АВ, если АС=5, ВС=16 и угол С – тупой.

7. Дан треугольник со сторонами 4, 8, 9. Найти квадрат длины биссектрисы, проведенной к большей стороне.

8. Биссектриса угла С треугольника АВС пересекает сторону АВ в точке D. Через точку D проведена прямая, параллельная стороне АС, пересекающая сторону ВС в точке N. Определить длину отрезка BN, если ВС=8, АС=24.

9. Сторона треугольника разделена на три равные части и через точки деления проведены прямые, параллельные одной из двух других сторон. Найти площадь трапеции, заключенной между этими прямыми, если площадь треугольника равна 87.

10. В треугольнике АВС проведена биссектриса угла В, которая пересекает сторону Ас в точке D. Из точки D проведены прямые, параллельные сторонам АВ ВС. Найти длину сторон образовавшегося четырехугольника, если АВ=4,5 и ВС=9.

Вариант № 4

1. В правильном треугольнике с площадью, равной , проведена средняя линия MN, параллельная АС. Через вершину А и середину MN проведена прямая до пересечения с ВС в точке D. Найти длину OD, где О – середина MN.

2. Основания равнобедренного треугольника равно 30, а высота, проведенная к боковой стороне, равна 24. Найти длину боковой стороны.

3. В равнобедренном треугольнике с углом при вершине 120є и боковой стороной вписана окружность. Найти ее радиус.

4. В равнобедренный треугольник АВС (АВ=ВС) вписана окружность. Величина высоты BD, опущенной из вершины треугольника, равна 8. Найти радиус вписанной окружности, если косинус угла А равен .

5. В равнобедренном треугольнике высота равна 32, а тангенс угла при основании равен 4. Найти радиус описанного круга.

6. Стороны треугольника 8, 15 и 17. Найти его угол, лежащий против большей стороны.

7. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки длиной 10 и 8. Найти периметр треугольника, если центр вписанной в него окружности делит эту биссектрису в отношении 3:2, считая от вершины угла.

8. В равнобедренном треугольнике основание равно , а угол при основании равен 30є. Найти длину медианы, проведенной к боковой стороне.

9. На каком расстоянии от основания треугольника надо провести прямую, параллельную основанию, чтобы площадь треугольника разделилась в отношении 16:9, считая от вершины, если высота треугольника равна 10.

10. В остроугольном треугольнике разность двух сторон равна 2, а проекции этих сторон на третью сторону равны 9 и 5. Найти периметр треугольника.

Вариант № 5

1. В окружность, диаметр которой равен , вписан правильный треугольник. На его высоте, как на стороне, построен другой правильный треугольник, в который вписана новая окружность. Найти ее радиус.

2. Высота равнобедренного треугольника равна 14, основание относится к боковой стороне как 48:25. Найти основание треугольника.

3. В равнобедренном треугольнике высота равна 20, а боковая сторона . Найти радиус вписанной в него окружности.

4. В равнобедренном треугольнике основание 24, боковая сторона 20. Найти радиус описанной окружности.

5. В равнобедренном треугольнике АВС длина основания АВ равна , угол при основании равен 30є. Найти длину биссектрисы AD.

6. Найти высоту равнобедренного треугольника, боковая сторона которого равна , а косинус угла при вершине равен .

7. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки 12 и 18. Найти площадь треугольника, если центр вписанной окружности делит биссектрису в отношении 17:15, считая от вершины угла.

8. Медианы треугольника равны 5, , . Найти больший угол треугольника.

9. Стороны треугольника равны 12, 16 и 20. Периметр подобного ему треугольника равен 60. Определить площадь второго треугольника.

10. В треугольник вписан ромб, угол которого совпадает с углом треугольника. Стороны треугольника, заключающие этот угол, равны 12 и 18. Определить сторону ромба.

Ответы к тестам

№ вари-анта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	3	11	3	18	8	120є	50	20	50	6
2	4	27	10		16,9	42	85	7	16	3
3	14	1	40	6	10	409	14	2	29	3
4	7	25		3	17	90є	45	4	2	42
5		96	8	12,5	1	1		90є	150	7,2

3.3. Параллелограмм