Задачи по планиметрии Методические указания (стр. 4 )

Вариант № 6

1. Диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 26. Длина одного из катетов равна 10. Найти периметр треугольника.

2. В прямоугольном треугольнике длина гипотенузы равна 20, а косинус острого угла равен 0,8. Найти длину большего катета.

3. Длина стороны квадрата равна . Найти длину радиуса описанной окружности.

4. В равностороннем треугольнике длина высоты равна 12. Найти радиус вписанной окружности.

5. Найти площадь треугольника со сторонами, равными 13, 14, 15.

6. Вычислить периметр ромба, площадь которого равна 64, а длина радиуса вписанной окружности 8.

7. Стороны параллелограмма равны 6 и 16. Острый угол равен 60°. Найти длину меньшей диагонали.

8. В равнобочной трапеции из вершины тупого угла проведена высота, делящая основание на две части 4 и 12. Найти среднюю линию трапеции.

9. Около круга радиуса 3 описана равнобочная трапеция с площадью 72. Определить периметр трапеции.

10. В треугольнике длины двух сторон равны 3 и 5, а угол между ними 120°. Найти длину третьей стороны.

11. В треугольнике АВС: угол А=30°, угол С=45°. Сторона АВ равна . Найти сторону ВС.

12. В прямоугольном треугольнике проекции катетов на гипотенузу равны и . Найти длину перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла.

13. В треугольнике биссектриса внутреннего угла делит основание на отрезки 8 и 4. Найти отношение большей боковой стороны к меньшей.

14. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 14, площадь равна 48, а радиус вписанного круга равен 2. Найти длину основания треугольника.

15. Диаметр окружности равен 24. Хорда, проведенная в этой окружности, стягивает дугу в 120°. Определить расстояние от центра окружности до хорды.

Вариант № 7

1. Длины катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 24. Найти длину медианы, проведенной к гипотенузе.

2. В прямоугольном треугольнике длина одного из катетов равна 3, а котангенс прилежащего угла равен 0,75. Найти длину гипотенузы.

3. Длина диагонали квадрата равна . Найти длину радиуса вписанной окружности.

4. Около правильного треугольника со стороной описана окружность и вписана окружность. Определить площадь образовавшегося кольца.

5. Треугольник АВС подобен треугольнику А1В1С1. Площадь треугольника АВС равна 16. . Найти площадь треугольника А1В1С1.

6. Периметр ромба равен 32, длина высоты ромба равна 4. Найти острый угол ромба.

7. Диагонали параллелограмма равны 10 и , а стороны относятся как 1:2. Найти длину меньшей стороны.

8. Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны. Основания равны 20 и 12. Найти площадь трапеции.

9. Около окружности радиуса описана равнобочная трапеция с боковой стороной 17. Найти большее основание трапеции.

10. В треугольнике АВС: , , . Найти длину АВ.

11. Основание треугольника равно 4cos15°, а прилежащие углы равны 30° и 45°. Найти длину стороны, противолежащей углу 30°.

12. В прямоугольном треугольнике один катет равен 6, а гипотенуза 9. Найти проекцию другого катета на гипотенузу.

13. Боковые стороны треугольника относятся как 2:3. Основание равно 30. Найти длину большего из отрезков, на которые делит основание биссектриса противоположного угла треугольника.

14. В равнобедренном треугольнике основание равно 16, а боковая сторона 10. Найти радиус описанной окружности.

15. Из внешней точки А проведена к окружности секущая длиной 12, внутренний отрезок которой равен 9. Найти длину касательной, проведенной к окружности из точки А.

Вариант № 8

1. В прямоугольном треугольнике длина одного из катетов равна 12, а длина радиуса описанной окружности равна . Найти площадь треугольника.

2. В прямоугольном треугольнике острый угол равен 60°, а длина прилежащего катета равна . Найти площадь треугольника.

3. Найти сторону квадрата, равновеликого прямоугольнику, со сторонами 3 и 48.

4. Найти радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной, равной .

5. Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна 6. Длина высоты, опущенной на основание, равна 8. Найти длину боковой стороны.

6. Площадь ромба равна 25. Диагонали ромба относятся как 1:2. Найти меньшую диагональ ромба.

7. Длины сторон параллелограмма 8 и 6. Площадь его равна 24. Найти острый угол параллелограмма.

8. В равнобедренной трапеции нижнее основание 18, верхнее равно 12, боковая сторона составляет с нижним основанием угол 45°. Найти площадь трапеции.

9. В равнобедренной трапеции, описанной около окружности, основания равны 12 и 6. Найти боковую сторону трапеции.

10. В треугольнике две стороны равны 7 и 6, а косинус угла между ними . Найти длину третьей стороны.

11. Около треугольника описана окружность радиуса 12. Известно, что синус одного из углов треугольника равен . Найти величину противолежащей стороны.

12. Найти радиус круга, вписанного в прямоугольный треугольник, если проекции катетов на гипотенузу равны 9 и 16.

13. В треугольнике АВС: АВ=7; ВС=14. Биссектриса угла В делит сторону АС на части, меньшая из которых равна 5. Найти длину АС.

14. В окружность вписан правильный треугольник со стороной, равной . Найти площадь квадрата, вписанного в окружность.

15. Хорды АВ и Cd пересекаются в точке Е. Найти Еd, если АЕ=5; ВЕ=4; СЕ=2,5.

Вариант № 9

1. Длина катета прямоугольного треугольника равна 3, а длина гипотенузы . Найти площадь треугольника.

2. В прямоугольном треугольнике длина гипотенузы равна , а острый угол равен 30°. Найти площадь треугольника.

3. Длина диагонали прямоугольника равна 12, угол между диагоналями равен 30°. Найти площадь прямоугольника.

4. Длина стороны правильного треугольника равна . Найти длину радиуса вписанной в треугольник окружности.

5. Площадь равнобедренного треугольника равна 49, а угол при основании равен 45°. Найти длину основания.

6. Диагональ ромба равна его стороне и равна . Найти площадь ромба.

7. Диагонали параллелограмма и 20, а угол между ними 60°. Найти площадь параллелограмма.

8. В равнобедренной трапеции разность длин оснований равна 3, а сумма – 11. Найти большее основание.

9. Площадь равнобедренной трапеции, в которую вписана окружность радиуса 1,5, равна 18. Найти длину боковой стороны.

10. В треугольнике длины двух сторон равны , , косинус угла между ними равен . Найти длину третьей стороны.

11. Найти сторону треугольника, если противолежащей ей угол равен 45°, а радиус описанной окружности равен .

12. Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит гипотенузу на отрезки длиной 25 и 4. Найти длину этой высоты.

13. Основание равнобедренного треугольника равно , а медиана боковой стороны 5. Найти длину боковой стороны.

14. Периметр треугольника равен 30, а длина окружности, вписанной в этот треугольник, равна 6π. Найти площадь этого треугольника.

15. Вершины треугольника АВС делят окружность на три дуги, градусные меры которых относятся, как 2:9:7. Найти больший угол треугольника.

Вариант № 10

1. Найти площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, если длина его гипотенузы равна .

2. В прямоугольном треугольнике острые углы относятся как 1:2. Больший катет равен . Найти радиус описанной окружности.

3. Длина диагонали квадрата равна . Найти его сторону.

4. Длина стороны правильного треугольника равна . Найти его площадь.