Задачи по планиметрии Методические указания (стр. 2 )

,

,

,

,

.

Ромб (рис. 7)

,                ,

,        ,

,

,

.

Прямоугольник (рис. 8)

,

.

Квадрат (рис. 9)

,

,

,  ,

,  .

Трапеция (рис. 10)

,

,

– средняя линия трапеции.

Часто используются следующие утверждения:

В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда . Трапецию можно вписать в окружность в том и только в том случае, если она равнобочная.

Произвольный четырехугольник (рис. 11)

Площадь выпуклого четырехугольника определяется по формуле:

.

Справедливы следующие утверждения:

В произвольном четырехугольнике (рис. 12), описанном около окружности, суммы противоположных сторон равны. В произвольном четырехугольнике, вписанном в окружность, суммы противоположных углов равны 180°.

,

.

Площадь вписанного четырехугольника может быть вычислена по формуле, обобщающей известную формулу Герона для площади треугольника:

, где р – полупериметр.

Замечание: Формула несправедлива для произвольного четырехугольника.

Многоугольники

Площадь многоугольника может быть определена разбиением его на треугольники.

Если число сторон n, то сумма внутренних углов равна .

Многоугольник называется правильным, если у него равны все стороны и все углы.

Для правильных многоугольников, имеющих n сторон, выполнимы следующие соотношения:

центральный угол ,

внешний угол ,

внутренний угол .

Если многоугольник правильный, то:

около него можно описать окружность; в него можно вписать окружность.

Теорема 1. Правильные многоугольники с одинаковым числом сторон подобны, и коэффициент подобия равен отношению их радиусов.

Теорема 2. Площадь любого описанного около окружности многоугольника равна , где р – полупериметр.

Площадь правильного вписанного в окружность радиуса R многоугольника может быть найдена по формуле:

.

Площадь правильного описанного около окружности радиуса r многоугольника находится по формуле:

.

Окружность. Круг (рис. 14)

Введем обозначения:

R – радиус окружности;

C – длина окружности;

S – площадь круга;

l – длина дуги, ограничивающей сектор

α – радианная мера центрального угла;

n° – градусная мера центрального угла.

,

,

,

.

При решении задач используются следующие свойства касательных к окружности:

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной; Две касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны, и центр окружности лежит на биссектрисе угла между ними.

Приведем также метрические соотношения в окружности:

1)        Если хорды AB и CD пересекаются в точке К (рис. 15), то .

2)        Если из точки А к окружности проведены две секущие АВС и ADK (рис. 16), то .

3)        Если из точки А к окружности проведены касательная AB и секущая ADC (рис. 17), то .

§1. Тесты по планиметрии 1-го уровня сложности

Структура теста:

1. Теорема Пифагора.

2. Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

3. Квадрат.

4. Правильный треугольник.

5. Треугольник (площадь, подобие).

6. Ромб.

7. Параллелограмм.

8. Трапеция.

9. Свойство четырехугольника, описанного около круга.

10. Теорема косинусов.

11. Теорема синусов.

12. Свойство перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу.

13. Свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника.

14. Вписанная и описанная окружность.

15. Окружность. Круг.

На выполнение тестов первого уровня сложности отводится 0,5 час. По истечении времени, подсчитайте количество правильно решенных задач. После чего поставьте себе оценку. Оценка вычисляется по формуле:

,

где n – количество правильно решенных задач.

Ответы на вопросы тестов приведены в конце §1.

Вариант № 1

1. В прямоугольном треугольнике катет равен 20, площадь равна 150. Найти гипотенузу.

2. В прямоугольном треугольнике косинус острого угла равен 3/5. Сумма длин прилежащего катета и гипотенузы равна 36. Найти длину радиуса описанной около треугольника окружности.

3. Периметр квадрата равен . Найти диагональ квадрата.

4. Длина стороны правильного треугольника . Найти длину его медианы.

5. Длины боковых сторон равнобедренного треугольника равны , угол между ними 120°. Найти площадь треугольника.

6. Площадь ромба равна 24, а одна из диагоналей – 6. Найти другую диагональ ромба.

7. Длины сторон параллелограмма 6 и 8. Одна из диагоналей равна . Найти другую диагональ параллелограмма.

8. В равнобедренной трапеции основания равны 6 и14, а угол при основании 45°. Найти площадь трапеции.

9. Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 15, а радиус вписанной в него окружности 5. Найти площадь четырехугольника.