Информатика. 4 класс. Поурочные разработки (стр. 13 )

Тогда через одну после неё нужно поставить ещё одну синюю — не получается, не хватает ещё синих.

Рассмотрим второй вариант расстановки в пары красных и квадратных бусин. После пары «красная круглая — зелёная квадратная» нужно поставить (треугольную или круглую) синюю бусину. Поставим треугольную:

Оставшиеся две круглые синие поставить будет некуда. Поставим круглую:

Тогда через одну после неё должна стоять ещё одна круглая. Есть два варианта следующих двух бусин: либо вторая пара — либо две оставшиеся синие:

В первом случае оставшиеся синие бусины будет некуда поставить, во втором случае, если поставить сначала треугольную, потом круглую, всё получается:

Второй способ. Выполним систематический перебор по последней бусине цепочки Щ. Последняя бусина не может быть круглой, иначе первое утверждение не будет иметь смысла, и не может быть красной, иначе на все квадратные бусины красных просто не хватит. Поэтому на последнем месте цепочки Щ могут стоять: синяя квадратная бусина, зелёная квадратная бусина или синяя треугольная бусина. Теперь рассмотрим каждый случай.

Пусть последняя бусина цепочки — зелёная квадратная, тогда перед ней — красная треугольная (красная круглая здесь стоять не может, иначе первое утверждение потеряет смысл):

Осталось пять бусин и пять свободных мест, снова начинаем пробовать различные варианты. При этом быстро выясняется, что круглые бусины не могут стоять на четвёртом и пятом местах, иначе становится ложным первое утверждение. Значит, три круглые бусины должны стоять на первых трёх местах. Но тут приходим к противоречию. Если красная бусина первая или вторая в этой тройке, то за ней обязательно должна идти квадратная (что не получается); если же красная бусина последняя, то она вторая после круглой, а вторая после круглой должна быть синей. Делаем вывод: последняя бусина цепочки Щ не зелёная квадратная. Аналогично приходим к противоречию, если последняя бусина синяя треугольная.

Пусть последняя бусина цепочки синяя квадратная. Тогда перед ней стоит красная треугольная (см. выше).

Продолжаем эксперименты. В оставшихся пяти бусинах выделяются две группы — пара «красная — квадратная» (круглая красная и зелёная квадратная) и остальные бусины (все они синие). Поищем место для пары. Она не может занимать четвёртое и пятое места (противоречие с первым утверждением). Также эта пара не может занимать третье и четвёртое места (не будет синей на втором месте после круглой, стоящей на первом или втором месте). Если поставить пару на второе и третье место, то придётся на первое место поставить треугольную синюю, а круглые встанут на четвёртое и пятое места — получаем противоречие, так как на шестом месте не синяя бусина. Остался последний вариант — пара стоит на первом и втором местах:

Осталось три места и три синие бусины, но четвёртой бусиной цепочки не может быть круглая, так как вторая за ней не является синей. Получаем единственно возможную цепочку:

Решение задачи предполагает большое количество сложных рассуждений. Как приведённые здесь рассуждения помогут вам при работе над этой задачей с детьми? Какие-то отдельные идеи вполне могут помочь при индивидуальной работе с учеником, который совсем запутался и не знает, что делать дальше, или начал решать, но зашёл в тупик. Если вы видите, что он упорно выбирает варианты, которые заведомо не приведут к правильному ответу, порассуждайте вместе с ребёнком, почему именно так быть не может. В зависимости от того, какие идеи высказывает ученик и в чём ошибается, наметьте возможные стратегии решения и понаблюдайте, что он делает дальше. Так, по принципу горячо — холодно вы вместе будете понемногу подбираться к искомой цепочке.

Задача 67. Задача на повторение понятий «перед каждой бусиной», «после каждой бусины». В ответе должно получиться слово КАРТОШКА.

Задача 68. Первое, что требуется в этой задаче, — осуществить полный перебор всех возможных ходов Первого и все эти ходы (их четыре, как подсказывает картинка) изобразить. Дальше нужно посмотреть, какие из получившихся позиций заключительные. Оказывается, что заключительных позиций из этих четырёх три и во всех трёх соответствующих партиях Первый проиграл. Для оставшейся четвёртой позиции в соответствии с условием задачи нужно найти все возможные варианты хода Второго и нарисовать все получающиеся позиции. Когда мы это сделаем, то окажется, что во всех позициях третьего уровня Второй проиграл, так что игра закончена.

Ответ:

Задача 69. В ходе решения подобных задач устанавливается связь между веткой дерева игры и отдельными партиями игры. Для начала ребятам необходимо понять, как связано дерево Н с цепочкой Q. Должны выполняться два условия: окончание цепочки Q — это путь дерева Н и число отрезков в заключительной позиции пути дерева Н должно соответствовать заданной длине цепочки Q. Ребята к настоящему моменту должны понимать: если в цепочке 9 бусин, значит, в партии сделано 8 ходов. Теперь ясно, что заключительными позициями партий с цепочкой Q могут быть лишь листья третьего уровня дерева Н.

Урок «Исследуем позиции на дереве игры»

К настоящему моменту ребята уже знакомы с понятием «выигрышная стратегия». Они умеют находить выигрышную стратегию для игры «камешки»  с опорой на раскрашенную числовую линейку. Однако этот способ не является универсальным — с его помощью не получается найти выигрышную стратегию во всех играх с полной информацией. Причина проста: в других играх не удаётся расположить все позиции на числовой линейке, да и позиции часто не равноценны относительно двух игроков. Чтобы проанализировать все позиции большинства игр с полной информацией, необходимо построить дерево игры. В таком дереве имеются все возможные позиции игры и, начиная с листьев, эти позиции можно определить как выигрышные или проигрышные (если игра не допускает ничьей) по тем же правилам, которые были описаны на с. 27. (Если же игра допускает ничьи, то некоторые позиции будут ничейными.) Проанализировав все позиции в дереве, можно найти выигрышную стратегию для одного из игроков. Часто такую стратегию нельзя описать в виде простого правила и приходится искать различные способы, как описать её полно (для любой игры соперника), но более-менее кратко. Порой приходится описывать последовательность ходов для каждого варианта хода противника. Иногда помогают некоторые геометрические или арифметические соображения, позволяющие объединить разные позиции в группы и тем самым уменьшить объём описания стратегии. Вообще, в разных ситуациях проблема описания выигрышной стратегии может решаться по-разному. В примере на с. 45 в каждом случае вариант хода Первого единствен, поэтому выигрышная стратегия формулируется достаточно просто — одним предложением.

В процессе поиска выигрышной стратегии по дереву возникает только одна проблема — полное дерево игры для большинства игр очень большое и построить его затруднительно. Поэтому часто дети будут анализировать только ветку из дерева игры. Иногда дерево оказывается возможным «разобрать» на несколько веток, каждую из которых можно проанализировать, а затем собрать результаты воедино. Именно этим ребята будут заниматься в проекте «Стратегия победы». По сути, тема этого листа определений готовит ребят к проведению проекта.

Заметим, что даже в случае игры «камешки»  (которую можно проанализировать с помощью числовой линейки) анализ позиций по дереву игры может быть полезен. Особенно это актуально в том случае, когда стратегия не формулируется в виде простого правила (проигрышные позиции не подчиняются строгой закономерности). В этом случае часто приходится рассматривать разные варианты ходов противника и для каждого указывать ответный ход игрока. Это, конечно, гораздо проще сделать по дереву, где все возможные варианты ходов из каждой позиции представлены явно. Например, попробуем сформулировать выигрышную стратегию для игры, описанной на с. 44. Начальная позиция проигрышная, значит, выигрышная стратегия имеется у Второго. При этом Первый может сделать любой первый ход, и необходимо рассмотреть все варианты. По дереву видно, что если Первый на первом ходу возьмёт 1 камешек, то Второй должен взять 4 камешка и оставить Второму проигрышную позицию 2. Дальше исход игры оказывается предопределён. Если Первый на первом ходу возьмёт 3 камешка, то Второй должен взять 4 камешка и выиграть. Если Первый на первом ходу возьмёт 4 камешка, то Второй может взять любое число камешков (исход игры в обоих случаях предопределён).

Решение задач 70—75 из учебника

Задача 70. Построение дерева игры «камешки»  — дело для ребят уже знакомое. Здесь интересно другое — при выполнении второго задания ребята наверняка заметят, что все проигрышные позиции находятся на уровнях с нечётными номерами, а все выигрышные — на уровнях с чётными номерами (если дети не заметят это сами, попросите их пометить уровни римскими цифрами I и II — номерами игроков, которые привели игру к этой позиции,). Это означает, что Первый не может выиграть в этой игре никогда. Соответственно Второй может играть как угодно, и выигрышная стратегия ему просто не нужна. Таким образом, Первый будет принудительно проигрывать, а Второй принудительно выигрывать. Вот почему любая партия данной игры будет разумной. Кого-то из ребят такая ситуация может смутить, поэтому приготовьтесь её прояснить. Если ребята решали задачу 42, возможно, стоит её вспомнить (а если не решали — стоит её решить, перед тем как решать задачу 70).