Ответ: .

Решение показательных неравенств основано на свойстве: если то при и при

Пример 5. Найти наибольшее целое решение неравенства

Решение. Так как то неравенство можно записать в виде Отсюда , т. е. Наибольшим целым числом, удовлетворяющим неравенству, является 7. 

  Ответ: 7.

Пример 6. Решить неравенство

Решение. Запишем неравенство в виде Так как то  

Ответ:

Пример 7. Найти количество целых решений неравенства

Решение. Перепишем неравенство в виде Пусть Тогда Решая соответствующее квадратное уравнение, получим т. е. Таким образом, т. е. Целыми решениями неравенства являются числа –2, –1, 0 и их количество равно 3.

  Ответ: 3. 

Упражнения

Решить уравнения и неравенства.

1.    Ответ: 6,5.

2.    Ответ: 0,375.

3.    Ответ: 2.

4.    Ответ: 0; 1.

5.    Ответ: –3.

6. Найти наименьшее целое решение неравенства

  Ответ: 4.

7. Найти наибольшее целое решение неравенства

  Ответ: –1.

8. Решить неравенство   Ответ: (–1; 0).

9. Решить неравенство   Ответ: (0; 0,4).

3.6. Логарифмические уравнения и неравенства

Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени с, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b: Обозначается

Логарифмическая функция имеет вид где . При функция убывает, а при – возрастает.

При решении логарифмических уравнений и неравенств используются формулы:

1)   2)   3)

4)   5)

6)   7)  

8)   9) 10)

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Из определения логарифма т. е. х=1. Так как областью определения является множество таких значений х, что т. е. то х=1 принадлежит области определения и является корнем данного уравнения.

Ответ: 1.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Областью определения данного уравнения является  множество значений, удовлетворяющих системе неравенств , или . Используя свойства логарифмов, данное уравнение можно записать как или т. е. имеем квадратное уравнение , корнями которого являются , Первый корень не входит в область определения, поэтому не является решением исходного уравнения.  Ответ: 1.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Областью определения уравнения является множество значений x>0. Пусть Тогда Корнями этого уравнения являются Тогда х=3 и х=27. Полученные значения х=3 и х=27 принадлежат области определения и являются корнями исходного уравнения.

Ответ; 3; 27.

При решении логарифмических неравенств следует использовать свойства логарифмической функции.

Если то неравенство () равносильно системе неравенств

  .

Если же то данное неравенство равносильно системе

  .

Пример 4. Найти наибольшее целое решение неравенства

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10