Индивидуальные домашние задания (ИДЗ) по дисциплине «Математическая статистика» Часть 2, Екатеринбург - 2011 (стр. 2 )

Среднее квадратическое отклонение СКО найдем как

σ(X) = = 0,4324.

Наконец, вероятность того, что н. с.в. X примет значения из заданного интервала (a; b) = (1/2; 3/2) вычислим, воспользовавшись найденной функцией распределения:

P(1/2 < x < 3/2) = F(3/2) – F(1/2) = 1 – – = ≈ 0,1345.

       Ответ: Графики плотности функции распределения f(x) и самой функции распределения F(x) н. с.в. X приведены на рис. 3, 4, соответственно. Вероятность попадания X в интервал (1/2; 3/2) равна P(1/2 < x < 3/2) = 0,1345. Числовые характеристики распределений: математическое ожидание M(X) = 0; дисперсия D(X) = 0,1870; СКО σ(X) = 0,4324.

Задача 9. Станок - автомат изготавливает валки с проектным контролируемым диаметром (случайная величина (с. в.) X), a = a0 = 9 мм. Измерения n = 40 случайно отобранных для контроля изделий дали следующие результаты:

xi, мм	8,94	8,95	8,96	8,97	8,98	8,99	9,00	9,01	9,02	9,03	Прим.
ni	1	1	2	5	8	9	7	4	2	1	n = Σni = 40

Представить распределение валков по диаметру в виде гистограммы и оценить его основные числовые параметры. Можно ли считать, что распределение с. в. X соответствует нормальному закону распределения?

Гипотеза H01: закон распределения с. в. X соответствует нормальному закону.

Гипотеза H11: закон распределения с. в. X значимо отличен от нормального.

Обеспечивает ли станок изготовление деталей в проектном размере, или имеется систематическое занижение диаметра валков и требуется дополнительная настройка технологического процесса?

Гипотеза H02: a = a0 = 9 мм.

Гипотеза H12: a < a0.

Уровень значимости α = 0,05.

Решение: Распределение валков по диаметру представлено в виде гистограммы на рис. 5.

Рис. 5. Эмпирическое частотное распределение валков с. в. X.

Из рис. 5 видно, что, действительно, эмпирическое частотное распределение имеет куполообразный вид, характерный для нормального распределения. Центр эмпирического распределения, очевидно, смещен несколько влево относительно номинального диаметра a0 = 9 мм. Для того, чтобы дать обоснованный ответ на вопрос о том, действительно ли соответствует наблюдаемое эмпирическое частотное распределение валков по диаметру нормальному закону распределения, используем критерий согласия χ2-Пирсона.

Для того, чтобы иметь возможность вычисления теоретических частот, оценим параметры предполагаемого теоретического нормального распределения

N(x; a; σ2) = .

Примем в качестве оценок параметров нормального распределения величины, вычисленные из самой выборки. А именно, приняв в качестве a среднее по выборке xср:

a = xср = ≈ 8,988

и приняв в качестве σ квадратный корень из исправленной дисперсии:

σ = s = ≈ 0,0191.

Относительные расчетные (теоретические) частоты ncalc вычислим как

ni, теор= n⋅ N(xi; a; σ2)⋅∆x,

где ∆x = 0,01 – шаг по диаметру в частотном эмпирическом распределении. Результаты расчетов сведены в табл. 5:

Таблица 5

Эмпирические и расчетные частоты распределения валков по диаметру. Подсчет критерия Пирсона χ2.

N п/п	xi	ni	ni, теор	ni – ni, теор	(ni – ni, теор)2/ ni, теор
1	8,94	1	0,3561	0,6439	1,1646
2	8,95	1	1,1561	-0,1561	0,0211
3	8,96	2	2,8542	-0,8542	0,2557
4	8,97	5	5,3587	-0,3587	0,0240
5	8,98	8	7,6504	0,3496	0,0160
6	8,99	9	8,3056	0,6944	0,0581
7	9	7	6,8566	0,1434	0,0030
8	9,01	4	4,3043	-0,3043	0,0215
9	9,02	2	2,0548	-0,0548	0,0015
10	9,03	1	0,7459	0,2541	0,0866
Σ	40	1,652

Таким образом, эмпирическое значение критерия Пирсона составляет ≈ 1,652. Согласно правилам проверки статистических гипотез требуется сравнить эмпирическую величину критерия с табличным критическим значением . Для определения последнего вычислим число степеней свободы: k = s – 1 – r, где s – число групп выборки; r – число параметров теоретического распределения, оцениваемых на основании самой эмпирической выборки. В нашем случае s = 10 и r = 2 (на основании выборки оценивались параметры нормального распределения a и σ). В итоге k = 10 – 1 – 2 = 7. По таблице распределения Пирсона χ2 находим = = 14,1. Так как <, то нулевую гипотезу H01 принимаем и можем утверждать, что закон распределения с. в. X соответствует нормальному закону. Данный вывод наглядно подтверждает рис. 6. Вместе с тем видно, что центр распределения смещен влево относительно проектного размера.

Для ответа на вопрос о значимости смещения среднего диаметра относительно проектного размера a0 = 9 мм применим T-критерий Стьюдента, который вычисляется по формуле:

T = ,

где, как и выше, xср = 8,988 мм – средний фактический диаметр валков; a0 = 9 мм – проектный размер; n = 40 – объем выборки; s = 0,0191 – исправленное СКО. В нашем случае эмпирическое значение Tэмп = –3,9718. Критическое значение tкр найдем по таблице t-распределения Стьюдента для уровня значимости α = 0,05 и числа степеней свободы k = n – 1 = 39: tкр(α; k) = tкр(0,05; 39) = 1,68. Согласно правилу применения левостороннего T-критерия Стьюдента, если Tэмп < – tкр, то нулевая гипотеза H02 на принятом уровне значимости α = 0,05 должна быть отвергнута и принята конкурирующая H12: a < a0, – фактический средний диаметр валков a значимо меньше проектного размера a0. В производственной практике это свидетельствует о необходимости дополнительной настройки технологического процесса в сторону увеличения диаметра изготавливаемых изделий (примерно на + 0,012 мм).

Рис. 6. Эмпирическое частотное распределение валков с. в. X в сопоставлении с теоретическим нормальным распределением (сплошная линия). Вертикальные прямые показывают проектный диаметр (жирная линия); эмпирический средний диаметр (тонкая линия) ± исправленное СКО (пунктир).

       

       Ответ: На уровне значимости α = 0,05 можно считать, что эмпирическое распределение диаметров валков соответствует нормальному закону распределения. Средний диаметр валков a значимо меньше проектного размера a0; требуется дополнительная настройка технологического процесса в сторону увеличения диаметра изготавливаемых валков.

Задача 10. В исследовании, посвященном проблемам ценностных приоритетов, выявлялись иерархии жизненных (терминальных) ценностей (ТЦ) по методике Рокича у родителей и их взрослых детей. Ранги терминальных ценностей, полученные при обследовании пары мать (ряд A) – дочь (ряд B) приведены в таблице:

№ ТЦ	A: Ранг ценностей в иерархии матери, xi	B: Ранг ценностей в иерархии дочери, yi
1. Активная деятельная жизнь	15	15
2. Жизненная мудрость	1	3
3. Здоровье	7	14
4. Интересная работа	8	12
5. Красота природы и искусство	16	17
6. Любовь	11	10
7. Материально обеспеченная жизнь	12	13
8. Наличие хороших и верных друзей	9	11
9. Общественное признание	17	5
10. Познание	5	1
11. Продуктивная жизнь	2	2
12. Развитие	6	8
13. Развлечения	18	18
14. Свобода	4	6
15. Счастливая семейная жизнь	13	4
16. Счастье других	14	16
17. Творчество	10	9
18. Уверенность в себе	3	7

Коррелируют ли терминальные ценности матери и дочери? Найти выборочные коэффициенты ранговой корреляции Спирмена и Кендалла и проверить статистическую гипотезу о значимости каждого из них. Сравнить полученные результаты. Уровень значимости α = 0,05.