Индивидуальные домашние задания (ИДЗ) по дисциплине «Математическая статистика» Часть 2, Екатеринбург - 2011 (стр. 3 )

Решение: Выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена RS определим по формуле

RS = 1 – ,

где di = xi – yi; n = 18 – объем выборки. Ранговые разности di приведены в табл. 6

Таблица 6

Ранговые разности для подсчета коэффициента ранговой корреляции RS Спирмена.

№ ТЦ	xi	yi	di = xi – yi	di2
1	15	15	0	0
2	1	3	-2	4
3	7	14	-7	49
4	8	12	-4	16
5	16	17	-1	1
6	11	10	1	1
7	12	13	-1	1
8	9	11	-2	4
9	17	5	12	144
10	5	1	4	16
11	2	2	0	0
12	6	8	-2	4
13	18	18	0	0
14	4	6	-2	4
15	13	4	9	81
16	14	16	-2	4
17	10	9	1	1
18	3	7	-4	16
Σ	0	346

На основании данных табл. 6 вычисляем RS = 1 – ≈ 0,643. Как и должно быть, –1 ≤ RS ≤ 1.

Для проверки значимости найденного значения RS, выдвинем следующие статистические гипотезы:

Гипотеза H0: коэффициент корреляции Спирмена RS = 0.

Гипотеза H1: коэффициент корреляции Спирмена RS ≠ 0.

Для того, чтобы при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу H0 о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции RS Спирмена при конкурирующей гипотезе H1 (RS ≠ 0), надо вычислить критическую точку

Tкр = tкр(α; k)⋅,

где tкр(α; k) – критическая точка двусторонней критической области, которую находят по таблице критических точек распределения Стьюдента по уровню значимости α и числу степеней свободы k = n – 2. В нашем случае tкр(0,05; 16) = 2,12 и Tкр ≈ 0,406. Так как эмпирическое значение коэффициента корреляции Спирмена превышает критическое: RS > Tкр, то нулевую гипотезу отвергаем и принимаем конкурирующую: между качественными признаками A и B существует значимая ранговая корреляционная связь.

Выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла RK определим по формуле

RK = – 1,

где R = R1 + R2 + ... + Rn–1 – сумма рангов. Для подсчета суммы рангов R упорядочим эмпирическую таблицу так, чтобы один из качественных признаков, например, A, был упорядочен, например, в порядке убывания значимости (табл. 7).

Таблица 6

Ранговые разности для подсчета коэффициента ранговой корреляции RK Кендалла.

№ ТЦ	xi	yi	Ri	Значения yi+1 > xi, i = 1, 2, …, n–1
2	1	3	16	2; 7; 6; 8; 14; 12; 11; 9; 10; 13; 4; 16; 15; 17; 5; 18
11	2	2	15	7; 6; 8; 14; 12; 11; 9; 10; 13; 4; 16; 15; 17; 5; 18
18	3	7	14	6; 8; 14; 12; 11; 9; 10; 13; 4; 16; 15; 17; 5; 18
14	4	6	12	8; 14; 12; 11; 9; 10; 13; 16; 15; 17; 5; 18
10	5	1	11	8; 14; 12; 11; 9; 10; 13; 16; 15; 17; 18
12	6	8	10	14; 12; 11; 9; 10; 13; 16; 15; 17; 18
3	7	14	9	12; 11; 9; 10; 13; 16; 15; 17; 18
4	8	12	8	11; 9; 10; 13; 16; 15; 17; 18
8	9	11	6	10; 13; 16; 15; 17; 18
17	10	9	5	13; 16; 15; 17; 18
6	11	10	5	13; 16; 15; 17; 18
7	12	13	4	16; 15; 17; 18
15	13	4	4	16; 15; 17; 18
16	14	16	3	15; 17; 18
1	15	15	2	17; 18
5	16	17	1	18
9	17	5	1	18
13	18	18	–	–
Σ	0	346

       Ранг R1 определяется количеством рангов yi, превышающих ранг x1 = 1. Всего таких рангов R1 = 16; а именно, {2; 7; 6; 8; 14; 12; 11; 9; 10; 13; 4; 16; 15; 17; 5; 18}. Продолжая процедуру подсчета Ri (см. табл. 6), получим R = = 126. В итоге, RK = – 1 ≈ 0,647. Как и должно быть, –1 ≤ RK ≤ 1.

Для проверки значимости найденного значения RK, выдвинем следующие статистические гипотезы:

Гипотеза H0: коэффициент корреляции Кендалла RK = 0.

Гипотеза H1: коэффициент корреляции Кендалла RK ≠ 0.

Для того, чтобы при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу H0 о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции RK Кендалла при конкурирующей гипотезе H1 (RK ≠ 0), надо вычислить критическую точку

Tкр = zкр⋅,

где zкр – критическая точка двусторонней критической области, которую находят по таблице функции Лапласа по равенству Φ(zкр) = (1 – α)/2. В нашем случае Φ(zкр) = 0,475, откуда zкр = 1,96 и Tкр ≈ 0,338. Так как эмпирическое значение коэффициента корреляции Кендалла превышает критическое: RK > Tкр, то нулевую гипотезу отвергаем и принимаем конкурирующую: между качественными признаками A и B существует значимая ранговая корреляционная связь.

       Как видно из расчетов, выборочные коэффициенты ранговой корреляции Спирмена и Кендалла близки друг к другу, так что для оценки степени корреляционной связи между двумя наборами качественных признаков может быть использован любой из них.

Ответ: На уровне значимости α = 0,05 можно считать, что терминальные ценности матери и дочери находятся в значимой корреляционной связи друг с другом. Значения  выборочных коэффициентов ранговой корреляции Спирмена и Кендалла равны, соответственно,  RS = 0,643 и RK = 0,647.

Варианты индивидуальных домашних заданий (ИДЗ)

ИДЗ-7. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины (д. с.в.). Числовые характеристики распределения д. с.в.

Составить закон распределения вероятностей д. с.в. X. Построить многоугольник распределения. Найти числовые характеристики распределения (моду распределения, математическое ожидание M(X), дисперсию D(X), среднее квадратическое отклонение σ(X)).

1. Монета подбрасывается до тех пор, пока герб не выпадет второй раз, при этом делается не более 4 проб. Д. с.в. X – число подбрасываний.

2. Две монеты подброшены n = 4 раза. Д. с.в. X – число выпадений двух «гербов» в n бросаниях.

3. Среди 5 ключей два подходят к двери. Ключи пробуют один за другим, пока не откроют дверь. Найти распределение вероятностей для числа опробованных ключей. Д. с.в. X – число опробованных ключей.

4. Игральный кубик брошен n = 6 раз. Д. с.в. X – количество выпадений очков, кратных двум или трем.

5. Два игральных кубика брошены n = 6 раз. Д. с.в. X  – число выпадений пар, содержащих ровно одну «четверку» в n бросаниях.

6. Два игральных кубика бросаются n = 12 раз с подсчетом сумм выпавших очков. Д. с.в. X – число сумм, кратных четырем.

7. Из ящика, содержащего N = 10 деталей, среди которых n = 6 стандартных деталей, наудачу вынимаются M = 4 детали. Д. с.в. X – число стандартных деталей в выборке.

8. Бросаются два игральных кубика. Д. с.в. X – сумма выпавших очков.

9. На элеватор прибыло N1 = 6 машин агрофирмы АФ-1 и N2 = 9 машин агрофирмы AФ-2. Под разгрузку случайным образом загоняются n = 6 машин. Д. с.в. X – число разгружаемых машин агрофирмы АФ-1.