Индивидуальные домашние задания (ИДЗ) по дисциплине «Математическая статистика» Часть 2, Екатеринбург - 2011 (стр. 6 )

       Гипотеза H0: с. в. X имеет показательное распределение.

       Гипотеза H1: с. в. X имеет распределение, отличное от показательного.

Точность работы станка - автомата проверяется по дисперсии контролируемого размера изделий, которая не должна превышать σ02 = 0,1. Взята проба из n = 36 случайно отобранных изделий. С. в. X – контролируемый размер изделий пробы:

xi	2,5	3,0	3,5	3,8	4,4	4,5	11,8	12,0	Прим.
ni	2	3	7	10	8	2	3	1	Σni = 36

       Обеспечивает ли станок требуемую точность?

       Гипотеза H0: σ02 = σ2 = 0,1. Гипотеза H1: σ2 > 0,1.

Двумя методами X и Y проведены измерения одной и той же физической величины. Получены следующие результаты:

       а) в первом случае x1 = 9,6; x2 = 10,0; x3 = 9,8; x4 = 10,2; x5 = 10,6;

       б) во втором случае y1 = 10,4; y2 = 9,7; x3 = 10,0; x4 = 10,3.

       Можно ли считать, что оба метода обеспечивают одинаковую точность измерений? Гипотеза H0: D(X) = D(Y). Гипотеза H1: D(X) ≠ D(Y).

В результате длительного хронометража времени сборки узла механизма различными сборщиками установлено, что дисперсия этого времени σ02 = 2 мин2. Результаты n = 20 наблюдений за работой новичка таковы:

xi, мин	56	58	60	62	64	Прим.
ni	1	4	10	3	2	Σni = 20

       Можно ли считать, что новичок работает в одном ритме с другими сборщиками? Гипотеза H0: σ02 = σ2 = 2. Гипотеза H1: σ2 > 2.

Из двух партий изделий, изготовленных на двух одинаково настроенных станках, извлечены малые выборки объемами n = 10 и m = 12. С. в. X и Y – контролируемые размеры изделий, изготовленных на первом и втором станках, соответственно:

xi	3,4	3,5	3,7	3,9	Прим.
ni	2	3	4	1	Σni = 10
yi	3,2	3,4	3,6	–
mi	2	2	8	–	Σmi = 12

       Считая, что с. в. X и Y имеют нормальное распределение, проверить гипотезу о равенстве средних размеров изделий, изготовленных на этих станках. Гипотеза H0: M(X) = M(Y). Гипотеза H1: M(X) ≠ M(Y).

Из двух партий изделий извлечены малые выборки объемами n = 10 и m = 16. С. в. X и Y – контролируемые размеры изделий, соответственно:

xi	12,3	12,5	12,8	13,0	13,5	Прим.
ni	1	2	4	2	1	Σni = 10
yi	12,2	12,3	13,0	–	–
mi	6	8	2	–	–	Σmi = 16

       Считая, что с. в. X и Y имеют нормальное распределение, проверить гипотезу о равенстве средних размеров изделий. Гипотеза H0: M(X) = M(Y). Гипотеза H1: M(X) > M(Y).

       У к а з а н и е: предварительно проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий H0: D(X) = D(Y) при конкурирующей гипотезе H1: D(X) ≠ D(Y).

Проектный контролируемый размер изделий, изготавливаемых станком - автоматом,  a = a0 = 35 мм. Измерения n = 20 случайно отобранных изделий дали следующие результаты:

xi, мм	34,8	34,9	35,0	35,1	35,3	Прим.
ni	2	3	4	6	5	Σni = 20

       Обеспечивает ли станок изготовление деталей в проектном размере?

       Гипотеза H0: a = a0 = 35 мм. Гипотеза H1: a ≠ a0.

На двух аналитических весах, в одном и том же порядке, взвешены n = 10 проб химического вещества (с. в. X и Y, соответственно) и получены следующие результаты взвешиваний (в мг):

xi	25	30	28	50	20	40	32	36	42	38
yi	28	31	26	52	24	36	33	35	45	40

       В предположении, что обе с. в. распределены нормально, проверить, значимо или незначимо различаются результаты взвешиваний?

       Гипотеза H0: M(X) = M(Y). Гипотеза H1: M(X) ≠ M(Y).

Почва двух участков земли была тщательно проанализирована и оказалась одинаковой по составу. На этих участках посеяли пшеницу одного сорта. На участке 1 было внесено удобрение, а на участке 2 – нет. К моменту сбора урожая с каждого участка была произведена случайная выборка 50 растений и измерена их длина. После статистической обработки выборок X и Y были получены следующие оценки: = 323 мм, = 297 мм, sx2 = 441 мм2, sy2 = 529 мм2. Можно ли считать, что внесение удобрений привело к значимому росту растений (гипотеза H1), или различие и обусловлено случайными причинами (гипотеза H0)?

У к а з а н и е: предварительно проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий H0: D(X) = D(Y) при конкурирующей гипотезе H1: D(X) ≠ D(Y).

Физическая подготовка n = 9 спортсменов была проверена при поступлении в спортивную школу (с. в. X), а затем после недели тренировок (с. в. Y). Итоги проверки (в баллах) оказались следующими:

xi	76	71	57	49	70	69	26	65	59
yi	81	85	52	52	70	63	33	83	62

       В предположении, что обе с. в. распределены нормально, проверить, значимо или незначимо улучшилась физическая подготовка спортсменов? Гипотеза H0: M(X) = M(Y). Гипотеза H1: M(X) < M(Y).

Измерения отклонения (в мкм) от проектного размера (с. в. X) для случайной выборки из n = 200 изделий следующие результаты:

xi	0,3	0,5	0,7	0,9	1,1	1,3	1,5	1,7	1,9	2,1	2,3	Прим.
ni	6	9	26	25	30	26	21	24	20	8	5	Σni = 200

       Гипотеза H0: с. в. X имеет нормальное распределение.

       Гипотеза H1: с. в. X имеет распределение, отличное от нормального.

Установить, значимо или незначимо различаются эмпирические (ni) и теоретические (ni′) частоты, вычисленные в предположении о нормальности распределения для случайной выборки из n = 200 испытаний:

ni	6	8	13	15	20	16	10	7	5	Прим.
ni′	5	9	14	16	18	16	9	6	7	Σni = 100

       Гипотеза H0: с. в. X имеет нормальное распределение.

       Гипотеза H1: с. в. X имеет распределение, отличное от нормального.

С. в. X из n = 100 наблюдений задана интервальным частотным вариационным рядом. Можно ли утверждать, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону?

xi	3 ÷ 8	8 ÷ 13	13 ÷ 18	18 ÷ 23	23 ÷ 28	28 ÷ 33	33 ÷ 38	Прим.
ni	6	8	15	40	16	8	7	Σni = 100

       Гипотеза H0: с. в. X имеет нормальное распределение.