ФГБОУ ВПО Уральский государственный педагогический университет

Математический факультет

Индивидуальные домашние задания (ИДЗ)

по дисциплине «Математическая статистика»

Часть 2

Екатеринбург – 2011

       Введение

       Настоящая методическая разработка предназначена для студентов всех направлений подготовки всех форм обучения, изучающих дисциплину «Математическая статистика». Разработка содержит индивидуальные домашние задания (ИДЗ) по 30 вариантов в каждом и методические указания по их решению. Отчеты по ИДЗ в настоящей части разработки должны быть подготовлены в электронном виде и представлены публично либо в виде завершенной презентации, либо в виде оформленного текстового документа с включением необходимых таблиц, формул и графических элементов.

Методические указания к решению задач

ИДЗ-7. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины (д. с.в.). Числовые характеристики распределения д. с.в.

Задача 7. Составить закон распределения вероятностей дискретной случайной величины (д. с.в.) X – числа k выпадений хотя бы одной «шестерки» в n = 8 бросаниях пары игральных кубиков. Построить многоугольник распределения. Найти числовые характеристики распределения (моду распределения, математическое ожидание M(X), дисперсию D(X), среднее квадратическое отклонение σ(X)).

Решение: Введем обозначение: событие A – «при бросании пары игральных кубиков шестерка появилась хотя бы один раз». Для нахождения вероятности P(A) = p события A удобнее вначале найти вероятность P(В) = q противоположного события В – «при бросании пары игральных кубиков шестерка не появилась ни разу».

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Поскольку вероятность непоявления «шестерки» при бросании одного кубика равна 5/6, то по теореме умножения вероятностей

P(В) = q = = .

Соответственно,

P(A) = p = 1 – P(В) = .

Испытания в задаче проходят по схеме Бернулли, поэтому д. с.в. величина X подчиняется биномиальному закону распределения вероятностей:

Pn(k) = ⋅pnqn–k,

где = – число сочетаний из n по k. Проведенные для данной задачи расчеты удобно оформить в виде таблицы (табл. 4):

Таблица 4

Распределение вероятностей д. с.в. X (n = 8; p = 11/36; q = 25/36)

k

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Σ

1

8

28

56

70

56

28

8

1

Pn(k)

0,0541

0,1904

0,2932

0,258

0,1419

0,05

0,011

0,0013

0,0001

1

Многоугольник распределения вероятностей представлен на рис. 2:

Рис. 2. Многоугольник распределения вероятностей д. с.в. X. Вертикальными линиями показаны числовые характеристики распределения: M(X) и M(X) ± σ(X).

Найдем числовые характеристики распределения вероятностей д. с.в. X. Мода распределения равна 2 (здесь P8(2) = 0,2932 максимально). Математическое ожидание равно:

M(X) = = 2,4444,

где xk = k – значение, принимаемое д. с.в. X. Дисперсию D(X) распределения найдем по формуле:

D(X) = = 4,8097.

Среднее квадратическое отклонение (СКО):

σ(X) = = 2,1931.

Для наглядности математическое ожидание M(X) д. с.в. X, характеризующее «центр  тяжести» распределения, показано на рис. 2 вертикальной сплошной линией. Здесь же  пунктиром показаны линии M(X) ± σ(X), характеризующие ширину распределения.

       Ответ: Многоугольник распределения см. на рис. 2. Мода распределения равна 2; математическое ожидание M(X) = 2,4444; дисперсия D(X) = 4,8097; СКО σ(X) = 2,1931.

З а м е ч а н и е. Результаты расчетов можно интерпретировать следующим образом. При неоднократном проведении серий опытов по 8-ми кратному бросанию пары игральных кубиков число k выпадений хотя бы одной «шестерки» в большинстве (почти в 90%) случаев будет лежать в границах от 1 до 4.

Задача 8. Для непрерывной случайной величины (н. с.в.) X задана плотность функции распределения: f(x) = С1⋅exp(–2|x|) при |x| ≤ 1; при |x| > 1 f(x)  = 0. Нормировать плотность распределения. Вычислить функцию распределения F(x). Построить графики обеих функций. Вычислить числовые характеристики распределений: математическое ожидание M(X), дисперсию D(X), СКО σ(X). Вычислить вероятность того, что н. с.в. X примет значения из заданного интервала (a; b) = (1/2; 3/2).

Решение: Прежде всего, нормируем на единицу плотность функции распределения f(x); отсюда определится неизвестная постоянная С1:

= 1 = = 2 = –С1⋅ = С1⋅(1 – e–2),

откуда

С1 = ≈ 1,1565.

При вычислении интеграла использована четность подынтегральной функции. Функцию распределения F(x) найдем путем интегрирования, причем здесь, в силу свойств функции y = |x| потребуется различать случаи x < 0 и x ≥ 0.

       При –1 ≤ x < 0:

F(x) = = = ⋅⋅ = ;

при 0 ≤ x ≤ 1:

F(x) = = + =

= F(0) + = + ⋅⋅ = + ,

При x < –1 F(x) = 0; при x > 1 F(x) = 1.

Графики плотности функции распределения f(x) и самой функции распределения F(x) представлены на рис. 3 и рис. 4, соответственно.


       Рис. 3. График плотности функции распределения вероятностей f(x) н. с.в. X

       Рис. 4. График функции распределения вероятностей F(x) н. с.в. X


       Рассчитаем числовые характеристики распределения н. с.в. X. Математическое ожидание M(X) н. с.в. X равно:

M(X) = = = 0

в силу нечетности подынтегральной функции. Дисперсия D(X) н. с.в. X равна:

D(X) = = = 2 С1= ≈ 0,1870.

Интеграл в выражении для дисперсии берется двойным интегрированием по частям:

= (1 – 5e–2) ≈ 0,0808.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9