Теоретические основы электротехники . . . Федеральное агентство по образованию (стр. 15 )

3.3 Начальные условия. Законы коммутации

В общее решение уравнения (3.3) входят постоянные интегрирования, число которых равно порядку дифференциального уравнения. Постоянные интегрирования находятся из начальных условий, которые принято делить на независимые и зависимые. К независимым начальным условиям относятся токи в L – элементах и напряжения на C – элементах в момент времени t = 0 (момент коммутации). Независимые начальные условия определяются на основании законов коммутации исходя из значений токов в L – элементах и напряжений на C – элементах в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации, t = 0 – .

Первый закон коммутации – ток в L – элементе в момент коммутации iL(0) сохраняет значение до коммутации iL(0 –), т. е. iL(0) = iL(0 –).

Второй закон коммутации – напряжение на C-элементе в момент коммутации uC(0) сохраняет свое значение до коммутации uC(0 –), т. е uC(0) = uC(0 –)

Зависимыми начальными условиями называются значения остальных токов и напряжений и их производных  в момент коммутации. Эти начальные условия определяются по независимым начальным условиям при помощи уравнений, составляемых по законам Кирхгофа для t = 0. Необходимое число начальных условий равно числу постоянных интегрирования. Поскольку уравнение вида (3.3) рационально записывать для переменной, начальное значение которой относится к независимым начальным условиям, задача нахождения начальных условий обычно сводится к нахождению значений этой переменной и ее производных до (K-1) порядка включительно при t = 0.

Пусть для уравнения (3.2) требуется определить начальные условия: i(0) и . Будем считать до коммутации uC(0 –) = 0 и в цепи имел место установившийся режим, тогда . В соответствии с законами коммутации uC(0) = uC(0 –) = 0 и . Тогда из третьего уравнения системы (3.1) .

3.4 Замыкание цепи, содержащей R и L – элементы

Такие процессы имеют место, например, при подключении к источнику питания электромагнитов, трансформаторов, электрических двигателей и т. п. Определим переходный процесс после замыкания контактов коммутирующего элемента (t ≥ 0) в цепи, схема которой изображена на рис. 3.3. По второму закону Кирхгофа uL + R = u. Имея в виду, что , дифференциальное уравнение, описывающее переходный процесс, имеет вид

.

Как было сказано выше, решение этого уравнения ищется в видеi = iв + iсв. Сначала определим свободную составляющую тока путем решения однородного уравнения . Для этого составим характеристическое уравнение Lp + R = 0, откуда , где - постоянная времени цепи. Тогда .

Далее рассмотрим два случая: u = U и Um sin(щt + гu). Здесь Um – амплитуда, гu – начальная фаза синусоидального напряжения. В первом случае вынужденную составляющую тока будем искать в виде постоянной величины. Для вынужденной составляющей исходное дифференциальное уравнение запишется в виде . Учитывая, что , вынужденная составляющая . Таким образом, . Будем считать, что i(0−) = 0. В соответствии с первым законом коммутации i(0) = i(0−) = 0. Тогда , откуда . Таким образом, ток в цепи , напряжение на L – элементе .

Качественный вид кривых iв, iсв, i и uL, соответствующих полученным решениям, представлен на рис. 3.4.

Во втором случае вынужденная составляющая тока рассчитывается с использованием символического метода. Комплексная амплитуда вынужденной составляющей тока

,

где . Тогда iв = Imвsin(щt + гu − ц), . Постоянная интегрирования определяется из уравнения i(0) = Imвsin(гu − ц) + A1. Поскольку i(0) = 0, то A1 = −Imвsin(гu − ц). Окончательно получаем

.

Анализ полученного выражения показывает следующее. Во-первых, при гu − ц = ±р переходного процесса нет, и в цепи сразу возникнет установившийся режим. Во-вторых, при и достаточно большой величине τ, такой что за полпериода свободная составляющая существенно не уменьшается, максимальная величина тока переходного процесса может существенно превышать амплитуду тока установившегося режима.

Этот случай поясняется на рис. 3.5 из которого видно, что максимум тока imax имеет место примерно через время, равное половине периода вынужденной составляющей. В пределе при ф → ∞ imax = 2Imв.

Можно показать, что для любой линейной цепи, содержащей только R и L – элементы, максимальное значение тока через L – элемент в переходном режиме при подключении цепи к синусоидальному источнику напряжения не превышает удвоенной амплитуды вынужденного тока.

Аналогично, для линейной цепи, содержащей только R и C – элементы, максимальное значение напряжения на C – элементе в переходном режиме при подключении цепи к синусоидальному источнику напряжения не превышает удвоенной амплитуды вынужденного напряжения.

3.5 Размыкание цепи, содержащей R – и L – элементы

Рассмотрим переходный процесс в цепи, схема которой приведена на рис. 3.6, после размыкания контактов коммутирующего элемента (t ≥ 0).Нетрудно получить дифференциальное уравнение, описывающее переходный процесс:

.

Решение этого уравнения ищется в виде I = iс + iсв. Вынужденная составляющая тока iсв = 0.

Для определения свободной составляющей составим характеристическое уравнение Lp + R1 + R2 = 0, откуда , где . Тогда . Предполагая, что , в соответствии с первым законом коммутации , тогда . Таким образом, ток в цепи , напряжение . Анализ этого выражения показывает, что при напряжение на разомкнутых контактах в момент коммутации, равное , будет во много раз превышать напряжение источника. При достаточно большом значении R1 указанное напряжение может вызвать дугу и вывести из строя коммутирующий элемент.

3.6 Цепь из R – и C – элементов

Рассмотрим схему цепи на рис. 3.7. При переводе контакта коммутирующего элемента из нижнего положения в верхнее начинается переходный процесс, связанный с зарядом C – элемента. Дифференциальное уравнение, описывающее этот процесс (t ≥ 0), можно получить в виде

.    (3.4)

Решение этого уравнения uC = uвС + uсвС.

Вынужденная составляющая напряжения на C – элементе uвС = U. Для определения свободной составляющей имеем характеристическое уравнение R1Cp + 1 = 0. Корень этого уравнения , где ф1 = R1C − постоянная времени заряда. Тогда , . Предположим, что при t = 0 – напряжение на C – элементе не равно нулю, поскольку к моменту коммутации он мог разрядиться не полностью. Тогда A1 = uC (0) − U и