Теоретические основы электротехники . . . Федеральное агентство по образованию (стр. 9 )

Это произведение обозначают буквой и называют комплексом полной мощности

.

2.3.6. Последовательное соединение резистора и конденсатора

Предположим, что в двухполюснике (рис. 2.7), состоящем из последовательно соединенных резистора и идеального конденсатора, имеется синусоидальный ток .

Напряжение на входе этого двухполюсника согласно второму закону Кирхгофа в комплексной форме

.

Комплексное значение тока может быть записано по заданному уравнению мгновенного значения тока:

Тогда комплексы активного и емкостного напряжений , . Комплекс напряжения на входе двухполюсника

.

Из этого уравнения можно получить формулу закона Ома в комплексной форме

.

Комплекс полного сопротивления емкостного двухполюсника

,

где – модуль комплекса полного сопротивления цепи, а

– его аргумент.

На рис. 2.7 построен треугольник напряжений для заданного двухполюсника. Для упрощения построения начальная фаза тока шi принята равной нулю. Вектор тока Э направлен по оси + 1. С ним совпадает по фазе вектор активного напряжения и отстает от него по фазе на угол сдвига фаз вектор напряжения на конденсаторе . Результирующий вектор напряжения на входе двухполюсника отстает по фазе от вектора тока на угол сдвига фаз .

Мгновенная мощность емкостного двухполюсника

.

Среднее за период значение мощности

.

Как и для индуктивного двухполюсника, среднее значение мощности емкостного двухполюсника равно его активной мощности, так как

.

Реактивная мощность, характеризующая амплитуду мощности обмена энергией между цепью и электрическим полем конденсатора,

.

Полная мощность

.

Комплекс полной мощности

Согласно уравнению комплекс реактивной мощности является отрицательной мнимой частью полной мощности.

2.3.7. Последовательное соединение резистора, индуктивной катушки и

конденсатора

Обычно индуктивная катушка и конденсатор имеют потери, поэтому схема замещения последовательно соединенных катушки и конденсатора состоит из двухполюсника с последовательным соединением элементов R, L и С, как показано на рис. 2.8. Если по этому двухполюснику пропустить ток , комплексное значение которого , то согласно второму закону Кирхгофа в комплексной форме для напряжения на входе двухполюсника можно записать уравнение

.

Величина Z = R + jxL – jxC представляет собой комплекс полного сопротивления двухполюсника. В зависимости от соотношения между индуктивным и емкостным сопротивлениями двухполюсника последний может

быть: 1) индуктивным (xL > xC), 2) емкостным (xL < xC) и 3) чисто активным (xL = xC). Комплексы полных сопротивлений двухполюсника в этих случаях определяются следующими уравнениями:

1) Z = R + j(xL – xC),

2) Z = R – j(xL – xC),

3) Z = R.

На рис. 2.8 построены векторные диаграммы для указанных трех случаев. Начальная фаза тока шi на этих диаграммах принята равной нулю. Для упрощения записи комплексов полных сопротивлений двухполюсников с индуктивными и емкостными элементами вводят понятие реактивного сопротивления двухполюсника, которое обозначают буквой x. Оно является алгебраической суммой индуктивного и емкостного сопротивлений: x = xL – xC. При x > 0 двухполюсник будет индуктивным, при x < 0 – емкостным и при x = 0 – чисто активным. Тогда комплекс полного сопротивления двухполюсника для всех трех случаев записывается в виде Z = R + jx. Модуль полного сопротивления двухполюсника .

Аргумент или угол сдвига фаз между векторами напряжения и тока двухполюсника .

Явление, при котором в последовательной цепи из элементов R, L и С общее напряжение цепи совпадает по фазе с ее током, называют резонансом напряжений.

Резонанс напряжений возникает, когда реактивное сопротивление цепи равно нулю x = 0, т. е. когда индуктивное сопротивление равно емкостному сопротивлению цепи (xL = xC). В этом случае индуктивное и емкостное напряжения компенсируют друг друга, так как они равны по величине и противоположны по фазе. Значения тока и мощности максимальны, от источника в цепь поступает только активная энергия. Одинаковые по величине амплитуды колебания реактивных мощностей PL и PC при резонансе напряжений находятся в противофазе. Что же касается энергий электрического и магнитного полей, то в те моменты времени, когда энергия запасается в электрическом поле конденсатора, этот запас осуществляется за счет энергии магнитного поля катушки. В другие моменты времени имеет место обратный переход энергии из электрического поля в магнитное.

Комплекс полной мощности рассматриваемого двухполюсника

,

где QL = xL ∙ I2 – реактивная мощность, обусловленная наличием в цепи индуктивности; QC = xC ∙ I2 – реактивная мощность, обусловленная наличием в цепи емкости.

2.3.8. Общий случай последовательной цепи синусоидального тока

Пусть электрическая цепь, схема которой приведена на рис. 2. 9 имеет четыре участка, сопротивления которых заданы. Запишем комплексы полных сопротивлений участков:

, , , .

Комплексы напряжений участков:

, , , .

Комплекс напряжения на входе:

.

При последовательном соединении комплекс полного эквивалентного сопротивления цепи равен сумме комплексов полных сопротивлений ее последовательных участков. Формулами можно пользоваться для расчета тока в цепи по заданному напряжению или для определения напряжения на входе двухполюсника по заданному току. В том и другом случаях необходимо задаться произвольной начальной фазой напряжения или тока.

Для цепи с несколькими участками обычно строят топографическую векторную диаграмму напряжений, каждая точка которой соответствует определенной точке электрической цепи. Чтобы осуществить соответствие точек диаграммы и цепи, построение векторов топографической векторной диаграммы ведут в той же последовательности, в какой обходят электрическую цепь. Обычно направление обхода выбирают противоположным положительному направлению тока в цепи.

В последовательной цепи во всех ее участках имеется один и тот же ток I, поэтому за исходный вектор удобно выбрать вектор тока и относительно его ориентировать все векторы напряжений участков.

При построении топографической векторной диаграммы схемы рис. 2.9, вектор тока направляем горизонтально и обход цепи против направления тока начинаем с точки а, потенциал которой принимаем за исходный. При переходе к точке b потенциал увеличится на величину падения напряжения в сопротивлении x1. Вектор этого напряжения опережает по фазе вектор тока на угол сдвига фаз . Потенциал точки с будет выше потенциала точки b на величину напряжения на втором участке, вектор которого имеет активную и емкостную составляющие. Векторы этих напряжений отложены на диаграмме в той же последовательности, в какой совершается обход цепи. Аналогично построены векторы напряжений и других участков цепи. Вектор результирующего напряжения U расположен между точками e и a. По топографической векторной диаграмме легко определить вектор напряжения между двумя произвольными точками цепи.