Теоретические основы электротехники . . . Федеральное агентство по образованию (стр. 19 )

4.6 Вопросы и задания для самопроверки

Получите изображения по Лапласу для сигнала в виде прямоугольного импульса, синусоидального импульса.

Как на практике осуществляется переход от оригинала к изображению и обратный переход?

Как используется преобразование Лапласа при решении дифференциального уравнения, описывающего переходный процесс?

Что такое операторная схема замещения?

Для каких цепей и как вводится понятие передаточной функции?

Определите передаточные функции цепи, состоящей из последовательно соединенных R – и L – элементов (R – и C – элементов) исходя из дифференциального уравнения.

Выполните предыдущее задание исходя из операторной схемы замещения.

5 ЧАСТОТНЫЙ АНАЛИЗ

5.1 Представление периодических сигналов рядом Фурье

При разложении в ряд Фурье сигнал, имеющий период T записывается в виде

,

где , , – коэффициенты ряда. Отметим, что пределы интегрирования в этих формулах могут выбираться в определенной степени произвольно. Необходимо только, чтобы интервал интегрирования был равен T.

Это разложение может быть представлено по-другому

,    (5.1)

где ; . Значение гk определяется из следующих уравнений: ; . Величина гk из этих уравнений определяется с точностью до слагаемого 2рn, где n – любое целое число. Обычно используют значения– р < гk ≤ р. Тогда при ak ≥ 0, при ak < 0 и bk ≥ 0, при ak < 0 и bk < 0.

Часто используется комплексная форма ряда Фурье:

    (5.2)

где комплексные коэффициенты ряда

,    (5.3)

причем , , , . Здесь k = 1, 2, …. Выражение обозначает главное значение аргумента комплексного числа , причем . Решетчатую функцию  принято называть комплексным спектром, функцию - амплитудным спектром, а функцию называют фазовым спектром. Заметим, что при , при и , при и .

Определим для примера амплитудный и фазовый спектры периодической последовательности прямоугольных импульсов, параметры которой определены на рис. 5.1. Нетрудно получить, что

,

, .

На рис. 5.2 показан амплитудный спектр, а на рис. 5.3 – фазовый спектр при T = 4tи.

5.2 Полоса частот, занимаемая периодическим сигналом

Определим квадрат действующего значения периодического сигнала: . Если сигнал представляет собой ток или напряжение, то эта величина прямо пропорциональна средней за период мощности сигнала. Используя (5.2), можно получить

.

Меняя местами интегрирование и суммирование, получим

,

где – величина комплексно сопряженная величине . Имея в виду обозначения, используемые в (5.1), окончательно

,

где – действующее k-й составляющей.

Практической шириной полосы частот, занимаемой сигналом, считают полосу Д, в которой сосредоточена определенная часть мощности сигнала, например, 90%.Д = щ2 – щ1, где щ1 и щ2 – нижняя и верхняя частоты полосы. Указанные частоты могут быть выбраны в значительной степени произвольно. Пусть щ1 = 0, щ2 = KЩ, тогда Д = KЩ, а величина K определится с помощью следующего неравенства:

.

При этом определяется такое наименьшее значение K, при котором выполняется это неравенство.

Для примера, определим полосу частот, занимаемую сигналом, изображенным на рис. 5.1 при T = 4tи. В этом случае K = 3, Д = 3Щ. Если для этого же сигнала определить полосу частот, в которой сосредоточено 99% мощности, то K = 40, Д = 40Щ.

5.3 Частотные характеристики непериодических сигналов

Рассмотрим сначала непериодический сигнал f(t), все ненулевые значения которого сосредоточены на определенном интервале времени T, а за пределами этого интервала сигнал имеет нулевые значения. Такой сигнал может быть получен из периодического сигнала с периодом T при  T → ∞. Например, непериодический сигнал в виде прямоугольного импульса, изображенный на рис. 5.4 можно получить из периодического сигнала на рис. 5.1 при T → ∞.

Используя этот прием, можно определить частотные характеристики непериодических сигналов, исходя из характеристик периодических сигналов. При увеличении периода составляющие амплитудного спектра уменьшаются, а число их на заданном частотном интервале увеличивается. Для периодического сигнала, подставив (5.3) в (5.2) получим

.

Учитывая, что и что пределы интегрирования можно выбирать в определенной степени произвольно (необходимо только, чтобы интервал интегрирования был равен T)

.

При T → ∞ суммирование может быть заменено интегрированием. При этом величина nЩ заменяется на непрерывную частоту щ, а Щ заменяется на dщ. Тогда последнее выражение можно записать в виде

    (5.4)

Внутренний интеграл в данном выражении пропорционален комплексному коэффициенту (5.2) при T → ∞. По его значениям при различных частотах щ можно судить о соотношении составляющих комплексного спектра. Обозначим этот интеграл

    (5.5)

Эта формула представляет собой преобразование Фурье сигнала f(t). При частотном анализе сигнала величину F(jщ) принято называть спектральной плотностью сигнала. Как известно, преобразование Фурье (5.5) существует, если сигнал f(t) удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости. В общем случае спектральная плотность является комплексной величиной. Ее модуль называется амплитудной характеристикой сигнала F(щ) = |F(jщ)|, а аргумент a(щ) = argF(jщ) – фазовой характеристикой сигнала.

Обратное преобразование Фурье позволяет по спектральной плотности определить сигнал:

    (5.6)