Теоретические основы электротехники . . . Федеральное агентство по образованию (стр. 20 )

Это выражение получается из (5.4), если заменить внутренний интеграл в соответствии с (5.5).

В общем случае спектральная плотность сигнала – величина комплексная и ее можно представить в виде

  F(jщ) = F1(щ) + jF2(щ)  (5.7)

где на основании (5.5),

,  .

Имея в виду, что F1(щ) – четная, а F2(щ) – нечетная функция частоты, (5.6) можно записать в виде

  .  (5.8)

В ряде случаев вычисления по формулам (5.7) и (5.8) оказываются проще, чем по формулам (5.5) и (5.6).

В качестве примера определим спектральную плотность сигнала, изображенного на рисунке 5.4. Используя (5.5), получим

.

Несложные преобразования последнего выражения позволяют получить

  .  (5.9)

Тогда

, .

Заметим, что правая часть равенства (5.9) легко получается с помощью (5.7). Графически зависимости F(щ) и α(ω) показаны на рис. 5.5 и 5.6 соответственно.

5.4 Полоса частот, занимаемая непериодическим сигналом

Определим величину . Если сигнал представляет собой ток или напряжение, то эта величина прямо пропорциональна энергии сигнала. Используя (5.6) и меняя порядок интегрирования, можно получить

.

Имея в виду, что , где - величина комплексно сопряженная F(jщ), будем иметь

.

Практической шириной полосы частот, занимаемой непериодическим сигналом, считают полосу Д, в которой сосредоточена определенная часть энергии сигнала, например, 90%.Д = щ2 – щ1, где щ1 и щ2 – нижняя и верхняя частоты полосы. Указанные частоты могут быть выбраны в значительной степени произвольно. Пусть щ1 = 0,тогдаД = щ2, а величина щ2 определится с помощью следующего равенства:

.

При этом определяется такое значение щ2, при котором выполняется это равенство.

Для примера, определим полосу частот, занимаемую сигналом, изображенным на рис. 5.4. В этом случае . Если для этого же сигнала определить полосу частот, в которой сосредоточено 99% энергии, то .

5.5 Комплексная передаточная функция

Рассмотрим сначала важное свойство, на основании которого преобразование Фурье используется при анализе электрических цепей. Пусть и F1(jщ) – преобразование Фурье сигнала f1(t), тогда

  F(jщ) = (jщ)kF1(jщ)  (5.10)

Как уже указывалось выше, часто  приходится анализировать цепи, обобщенная схема которых представлена на рис. 5.7.

Здесь uвх и uвых – входное и выходное напряжения на некоторых выводах цепи, которые удовлетворяют условию абсолютной интегрируемости, а зависимость между ними описывается уравнением вида (3.3):

  .  (5.11)

Осуществим преобразование Фурье обеих частей  уравнения (5.11), получим

a0(jщ)KUвых(jщ) + a1(jщ)K–1Uвых(jщ) + ... + aК–1jщUвых(jщ) + aКUвых(jщ)=

=b0(jщ)МUвх(jщ) + b1(jщ)М–1Uвх(jщ) + ... + bМ–1jщUвх(jщ) + bМUвх(jщ).

Отсюда

.

Обозначим

  ,  (5.12)

Тогда Uвых(jщ) = W(jщ)Uвх(jщ). W(jщ) называется комплексной передаточной функцией цепи.

Как следует из (5.12), передаточная функция зависит только от параметров элементов цепи. Она может быть найдена, исходя из дифференциального уравнения цепи. Если известна передаточная функция цепи, то можно найти выходную величину при заданной входной. Для этого необходимо найти преобразование Фурье входного сигнала, например Uвх(jщ), затем определить преобразование Фурье выходного сигнала Uвых(jщ) = W(jщ)Uвх(jщ), а затем определить выходной сигнал uвых(t), выполнив обратное преобразование Фурье над Uвых(jщ).

Если для входного периодического сигнала uвх по формуле (5.3) определен комплексный спектр Uвх[nЩ]. Тогда нетрудно показать, что при известной комплексной передаточной функции цепи W(jщ) комплексный спектр выходного периодического сигнала и по формуле (5.2) можно определить выходной периодический сигнал uвых.

5.6 Комплексная схема замещения

Комплексная передаточная функция может быть найдена с использованием так называемой комплексной схемы замещения. В такой схеме вместо ЭДС, напряжений и токов используются их преобразования Фурье, которые будем называть комплексными ЭДС, напряжениями и токами. Кроме того, вводится понятие Z – элемента и комплексного сопротивления Z(jщ) этого элемента. Связь между комплексным током I(jщ) и напряжением U(jщ) на Z – элементе с операторным сопротивлением Z(jщ) определяется законом Ома в комплексной форме:U(jщ) = Z(jщ)I(jщ).

Замещение L – элемента при переходе к комплексной схеме поясняется рис. 5.8. Поскольку , то на основании (5.10) . Величину Z(jщ) = jщI принято называть операторным сопротивлением L – элемента. На рис. 5.8 а показан участок исходной схемы с L – элементом, а на рис. 5.8 б – соответствующий участок комплексной схемы.

Замещение С-элемента при переходе к комплексной схеме поясняется рис. 5.9. Поскольку  , то на основании (5.10) IC(jщ) = jщCUC(jщ), откуда . Величину принято называть комплексным сопротивлением C-элемента. На рис. 5.9 а показан участок исходной схемы с C-элементом, а на рис. 5.9 б – соответствующий участок комплексной схемы.

Замещение R-элемента при переходе к комплексной схеме поясняет рис. 5.10. Поскольку uR = RiR, то UR(jщ) = RIR(jщ). Величину Z(jщ) = R назовем комплексным сопротивлением R – элемента. На рис. 5.10 а показан участок исходной схемы с R – элементом, а на рис. 5.10 б – соответствующий участок комплексной схемы.

Для комплексных схем справедливы законы Кирхгофа в комплексной форме. Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексных токов, связанных с узлом, равна нулю. Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексных ЭДС, действующих в контуре, равна алгебраической сумме комплексных напряжений на элементах этого контура. Рассмотрим схему цепи на рис. 5.11.

По второму закону Кирхгофа uC + uвых = ивх. Продифференцируем обе части уравнения и имея в виду, что , нетрудно получить дифференциальное уравнение для этой цепи в виде

.

Осуществим преобразование Фурье обеих частей этого уравнения, получим , отсюда , и комплексная передаточная функция цепи

.

Определим теперь комплексную передаточную функцию путем перехода к комплексной схеме замещения, показанной на рис. 5.12.

Для этой схемы

, , тогда комплексная передаточная функция . Используя эту комплексную передаточную функцию, определим реакцию цепи при воздействии на ее вход импульса, изображенного на рис. 5.13.

Найдем сначала спектральную плотность этого сигнала, воспользовавшись (5.9), тогда