Теоретические основы электротехники . . . Федеральное агентство по образованию (стр. 18 )

Входную величину часто называют входным воздействием или входным сигналом, а выходную – реакцией цепи на некоторое входное воздействие или выходным сигналом.

Как следует из (4.3), передаточная функция зависит только от параметров элементов цепи. Она может быть найдена, исходя из дифференциального уравнения цепи или из операторной схемы замещения. Если известна передаточная функция цепи, то можно найти выходную величину при заданной входной. Для этого необходимо найти изображение входной величины, например Uвх(p) = L{uвх(t)}, затем определить изображение выходной величины Uвых(р) = W(p)Uвх(р) и ее оригинал

uвых(t) = L-1{Uвых(p)}.

Существует типовая характеристика, по которой можно судить о характере переходных процессов в цепи. Она называется переходной характеристикой цепи. Переходная характеристика h(t) представляет собой реакцию цепи на входное воздействие в виде единичной ступенчатой функции 1(t). По определению 1(t) = 0 при t < 0; 1(t) = 1 при t ≥ 0. Поскольку , изображение переходной характеристики , переходная характеристика.

Для примера, определим передаточную функцию и переходную характеристику цепи, схема которой приведена на рис. 4.6.

На основании второго закона Кирхгофа .

Подставив в это уравнение значение тока через C – элемент , получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно uвых :

.

Выполним над обеими частями этого уравнения преобразование Лапласа, имея в виду, что все начальные условия задаются при t = 0 – и равны нулю. Получим LCp2Uвых(P) + RCpUвых (p) + Uвых(p) = Uвх(p). Определим из этого выражения Uвых(p): , откуда следует, что

.

Как указывалось выше, выражение для передаточной функции может быть получено путем анализа операторной схемы замещения, которая в данном случае имеет вид, показанный на рис. 4.7.

Анализируя эту схему, нетрудно получить, что

,

, откуда

,

где – коэффициент затухания; – резонансная частота.

Определим переходную характеристику цепи. Изображение этой характеристики

,

где – корни уравнения . Используя таблицы преобразования Лапласа нетрудно определить оригинал

.

При д > щр корни p1 и p2 различные и отрицательные, переходная характеристика носит апериодический характер и имеет вид, изображенный на рис. 4.8.

При д < щр корни комплексно сопряженные: p1 = –д + jщ0, p2 = –д – jщ0, где – угловая частота собственных колебаний. Переходная характеристика носит колебательный характер:

. Графически ее можно представить в виде, приведенном на рис. 4.9.

4.5 Особенности анализа переходных процессов

Рассмотрим электрическую цепь, изображенную на рис. 4.10.

Пусть необходимо определить напряжение uR  при замыкании коммутирующего элемента. Составим дифференциальное уравнение, описывающее переходный процесс, относительно uR. По второму закону Кирхгофа после замыкания коммутирующего элемента, т. е. для t ≥ 0, можно записать иС + иR = u. Продифференцируем обе части уравнения, получим . Имея в виду, что , окончательно

    (4.4)

Будем считать, что u = U и uC(0) = uC(0 –) = 0. Тогда уравнение (4.4) примет вид,

а начальное условие uR(0) = U. Нетрудно получить решение этого уравнения в виде .

Теперь найдем решение уравнения (4.4) с помощью преобразования Лапласа, для чего осуществим это преобразование над обеими частями уравнения, тогда . Поскольку , из приведенного уравнения можно получить . Выполнив обратное преобразование Лапласа, находим .

Определить uR можно путем перехода к операторной схеме замещения. Поскольку uC(0) = 0, эта схема будет иметь вид, показанный на рис. 4.11.

Имея в виду, что u = U, , нетрудно получить

,. Далее найдем оригинал .

Рассмотрим далее цепь, схема которой приведена на рис. 4.12. Здесь uвх = 0 и uвых = 0 при t < 0.

По второму закону Кирхгофа иС + ивых = uвх. Продифференцируем обе части уравнения и имея в виду, что , нетрудно получить дифференциальное уравнение для этой цепи в виде.

    (4.5)

За начальные условия при анализе цепи примем значения напряжений при t = 0 –. Кроме того, будем считать, что независимое начальное условие uC(0 –) = 0. Тогда uвых(0 –) = 0 Определим передаточную функцию этой цепи, для этого осуществим преобразование Лапласа обеих частей приведенного уравнения с учетом (4.1). Получим

, отсюда , и передаточная функция цепи .

Передаточная функция может быть найдена путем анализа операторной схемы замещения, которая в данном с учетом нулевых независимых начальных условий будет иметь вид, показанный на рис. 4.13.

Для этой схемы

, , отсюда передаточная функция . Используя  передаточную функцию, определим uвых при uвх = U1(t). При этом

, .

Изложенное выше позволяет отметить следующие особенности анализа переходных процессов.

При анализе переходного процесса в схеме на рис. 4.10 с коммутирующим элементом дифференциальное уравнение (4.4) составлено для t ≥ 0, т. е. для интервала времени, на котором отсутствуют скачкообразные изменения напряжений и токов на элементах. Для решения такого уравнения должны быть предварительно определены как независимые, так и зависимые начальные условия при t = 0. Если анализ проводится путем перехода к операторной схеме замещения, показанной на рис. 4.11, то предварительно должны быть определены только независимые начальные условия при t = 0. Результат анализа в любом случае определен при t ≥ 0.

При анализе переходного процесса в схеме на рис. 4.12 без коммутирующего элемента дифференциальное уравнение (4.5) составлено для всего интервала времени, на котором определены входные и выходные сигналы, т. е. для – ∞ < t < ∞, который включает моменты скачкообразного изменения напряжений и токов на элементах. Для решения такого уравнения должны быть предварительно определены как независимые, так и зависимые начальные условия при t = 0 –, которые в данном случае равны нулю. Анализ может быть проведен с использованием передаточной функции. Результат анализа определен при – ∞ < t < ∞.