Теоретические основы электротехники . . . Федеральное агентство по образованию (стр. 16 )

    (3.5)

Ток .

Кривые 1 и 2, изображенные на рис. 3.8, поясняют характер переходных процессов при начальных условиях  uC(0) = 0 и uC(0) > 0 соответственно.

При переводе контакта коммутирующего элемента из верхнего положения в нижнее (по рис. 3.4) начинается переходный процесс, связанный с разрядом C – элемента. Дифференциальное уравнение, описывающее этот процесс (иС = 0)

.

Решение этого уравнения иС = ивС + иС. Нетрудно показать, что вынужденная составляющая, ивС = 0 а свободная , где ф2 = R2C – постоянная времени разряда. Тогда, принимая, что к моменту коммутации C – элемент был заряжен до напряжения uC(0), можно записать

,.

Характер переходных процессов поясняется на рис. 3.9, где кривые 1 и 2 соответствуют иС(0) = 0 и иС(0) > 0.

3.7 Цепь из R, L и C – элементов

Рассмотрим цепь, схема которой приведена на рис. 3.10.

На основании второго закона Кирхгофа после замыкания контактов коммутирующего элемента (t ≥ 0) . Подставив в это уравнение значение тока через C – элемент , получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно uC :

.

Согласно изложенной ранее методике расчета переходных процессов классическим методом для напряжения на C – элементе можно записать иС = ивС + исвС. Для нахождения свободной составляющей составим характеристическое уравнение LCp2 + RCp + 1 = 0, решая которое, получаем

,

где – коэффициент затухания; - резонансная частота.

Здесь возможны два основных варианта. Во-первых, , когда свободный процесс носит апериодический характер. При этом .

Во-вторых, , когда имеет место колебательный характер переходного процесса. При этом p1 = – д + jщ0, p2 = – д – jщ0, где – угловая частота собственных колебаний. Тогда .

Далее рассмотрим два случая: u = U и и = Umsin(щt + ги) Для первого случая вынужденная составляющая uвС = U. При апериодическом характере переходного процесса можно записать

  .  (3.6)

Будем считать нулевыми независимые начальные условия, т. е. uC(0) = 0 и i(0) = 0. На основании равенства можно записать зависимое начальное условие . Для нахождения постоянных интегрирования необходимо воспользоваться выражением (3.6) и производной от этого выражения: . На основании (3.6) и последнего выражения запишем для t = 0 два уравнения:

0 = U + A1 + A2;

.

Решая эти уравнения совместно, найдем постоянные интегрирования

и .Подставив A1 и A2 в (3.6), получим . Тогда ток в цепи . Напряжение на L – элементе .

На рис. 3.11 представлены качественные кривые uC, i и uL, соответствующие апериодическому переходному процессу.

При колебательном переходном процессе uC = U + e-дt (A1cosщ0t + A2sinщ0t) Для нахождения постоянных интегрирования, имея в виду uC(0) = 0 и , запишем для t = 0 два уравнения:

0 = U + A1;

0 = –дA1 + щ0A2,

решая которые, получим A1 = –U; . Тогда

,

,

.

На рисунке 3.12 представлены качественные кривые i, uC, uL, соответствующие колебательному переходному процессу.

Во втором случае при подключении цепи к источнику синусоидального напряжения для нахождения вынужденных составляющих тока в цепи и напряжения на C – элементе и L – элементе следует воспользоваться символическим методом расчета, в соответствии с которым

,

где

; .

Попутно заметим, что в данной цепи возможно явление резонанса при частоте , поскольку на этой частоте отсутствует фазовый сдвиг (ц = 0) между током iв и напряжением u.

Далее получим

,

,

где , . Переходя к синусоидальным выражениям, можно записать

, ,

               .

Здесь также возможен апериодический режим и колебательный режимы. Наибольший интерес представляет колебательный режим, связанный с появлением во время переходного процесса собственных колебаний с частотой щ0. При этом:

.

Исходя из этого выражения, для нахождения постоянных интегрирования, имея в виду uC(0) = 0 и , запишем для t = 0 два уравнения:

;

,

решая которые, при получим ; . Тогда

,

,

.

При этом возможны, в зависимости от соотношения частот собственных колебаний и напряжения источника, следующие характерные варианты: щ значительно меньше щ0; щ несколько меньше щ0; щ = щ0; щ несколько больше щ0; щ значительно больше щ0. Эти варианты представлены на рис. 3.13 … 3.17 соответственно.