Сопротивление материалов (стр. 16 )

       Кроме того, при изгибе фzy совпадают по направлению с поперечными силами, для которых положительное направление соответствует вращению оставшейся части по часовой стрелке, т. е. в сторону противоположную принятому правилу знаков для фzy при плоском напряженном состоянии.

       Учитывая сказанное,  для балок получим формулы для определения положения главных площадок и величины главных напряжений

       Из последних формул видно, что при изгибе одно главное нагружение будет растягивающим, а другое – сжимающим.

         Максимальные напряжения действуют на площадках, нормали к которым находится в квадрантах, где касательные напряжения сходятся. Минимальные напряжения действуют на площадках, нормали к которым находятся в квадрантах, где касательные напряжения расходятся.

Пример 4. Определение напряженного состояния в окрестности точки внутри изгибаемой балки (задача №6)

         Для части стальной балки, подвергнутой изгибу и имеющей поперечное сечение требуется:

Вычертить поперечное сечение в масштабе и определить положение главных центральных осей инерции. Построить эпюру нормальных напряжений при изгибе. Определить значение нормального , касательного и главных и напряжений в сечении балки на уровне  I-I  (показать положение главных площадок) и направление действия главных напряжений. Проверить прочность балки на уровне I-I  по первому предельному состоянию.

Исходные данные:  h = 200 мм,  a = 40мм,  c = 100 мм,  b = 160 мм,  d = 60 мм,  Mн = 60 кHм, Qн = 80 кH, Rн  = 240 МПа. Расчётное сопротивление следует определить по формуле Rи = Rнm, где m = 0.90 – коэффициент условий работы, г = 1.3 – коэффициент надёжности. Rи = 0.9·240 = 216 МПа, Мр = Мн г = 60·1.3 = 78 кHм,  Qр =  Qн г = 80·1.3 = 104 кH.

Решение

         п.1. Главные центральные оси инерции  сечения – это оси, проходящие через центр тяжести сечения, относительно которых центробежный момент инерции равен 0. Если сечение обладает хотя бы одной осью симметрии, то эта ось главная. Моменты инерции относительно главных осей обладают свойством экстремальности: относительно одной из них момент инерции максимальный, а относительно другой – минимальный. 

         Рассматриваемое сечение имеет одну ось симметрии – ось y, которая будет главной центральной осью сечения Yо. Для нахождения положения другой главной центральной оси хо определяем положение центра тяжести сечения. Выберем вспомогательные оси хy, относительно которых определим координаты центра тяжести сечения, Так как оси yо и y совпадают, то координата хц, т = 0. Координату уц, т определяем по формуле:

         Здесь Sx - статический момент площади сечения, А – площадь сечения.

         п.2. Построение эпюры нормальных напряжений у

         Для построения эпюры у, воспользуемся формулой нормальных напряжений при чистом изгибе:

       В этой формуле все параметры берутся по абсолютному значению, а знак определяется характером действия изгибающего момента. В нашем случае происходит растяжение нижних и сжатие верхних волокон.

         Итак, определяем величину нормальных напряжений. Мр = 78 кНм. Момент инерции сечения относительно центральной оси  хо  равен: 

         Напряжение в нижнем волокне сечения балки, где имеет место наибольшее растяжение волокон балки, при у = уо = 10.6 см. равно

Напряжение в верхнем волокне сечения балки, где имеет место наибольшее сжатие волокон балки, при y  = h – yo = 20 – 10.6 = 9.4см, равно:

 

         п.3.  Напряжение в волокне сечения балки, отстоящем от нижнего волокна на расстоянии d = 6 см, то есть при у = уо – d = 10.6 – 6 = 4.6 см, равно:

Касательные напряжения в этом же волокне балки определяем по формуле

         Величина поперечной силы момент инерции сечения ширина сечения на уровне I-I сечения b = a = 4 см. Определим статический момент части площади сечения, расположенной ниже уровня I-I.

   

         Итак,        

         Определение положения главных площадок:

         Определение главных напряжений на уровне I-I сечения.

;

         п.4. Проверка балки на прочность

Условие прочности балки:

         Прочность балки на уровне I-I  обеспечена.

5 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПРИ ИЗГИБЕ БАЛОК

Метод начальных параметров

Задача №7

При изгибе балок возникают линейные и угловые перемещения. Составляющими перемещений вдоль оси обычно пренебрегают.

Линейным перемещением или прогибом балки называют перемещение центра тяжести поперечного сечения по нормали к недеформированной оси балки.

Угол, на который поперечное сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению, при отсутствии сдвига, называют угловым перемещением или углом поворота сечения.

Прогиб и угол поворота в любом сечении балки определяют с помощью универсального уравнения метода начальных параметров:

         (1.1)

                        (5.2)

где        , , , , - начальные параметры, т. е. прогиб, угол поворота, момент, поперечная сила и интенсивность распределенной нагрузки в начале координат. Начало координат всегда принимаем на левом конце балки.

При выборе начала координат на левом конце балки за положительное направление принимаем ось вдоль балки вправо и ось вверх.

Начальные параметры и определяются из граничных условий, т. е. из условий закрепления балки на опорах.

Например, если начало координат совпадает с защемленным концом балки, то начальные параметры и равны нулю.

Если начало координат совпадает с шарнирной опорой, то , а . Начальный параметр определяется  из условия закрепления правого опорного сечения, т. е. из уравнения .

, , - внешние силовые факторы в пределах балки.