Сопротивление материалов (стр. 25 )

Тогда получим дифференциальное уравнение потери устойчивости центрально сжатого шарнирно опертого стержня

                                                                               (2.3)

Решение уравнения (2.3) имеет вид

                                                               (2.4)

где А и В – постоянные интегрирования, которые находятся из граничных условий:

                                                       (2.5)

                                                       (2.6)

Так как  В ≠ 0 (не будет изгиба), то

                                                                                       (2.7)

       Уравнение (9) является трансцендентным уравнением (неизвестное входит в аргумент тригонометрической функции). Это уравнение имеет множество корней .

       Рассмотрим первое нетривиальное решение с минимальным Тогда из (2.2) следует

                                         (2.8)

       Можно сказать, что рассматриваемый стержень теряет устойчивость по одной полуволне синусоиды, а В – амплитуда этого отклонения. Величина В зависит от конкретной причины (возмущения), вызывающей отклонения сжатого стержня от первоначально прямого положения, а так как возмущения неопределенные, то и В остается неопределенной.

       Для вычисления критических сил для стержней с другими закреплениями нужно рассматривать дифференциальное уравнение четвертого порядка. Но, в курсе Сопротивления материалов, поступают следующим образом: для каждого вида закреплений сравнивают длину между точками перегиба (с М = 0) упругой линии при потере устойчивости (свободную длину ) с полуволной синусоиды l для шарнирно опертого стержня  и вводят в (2.8)  соответствующую свободную длину

  .                                                (2.9)

       Тогда,

                                                                               (2.10)

       Формула Эйлера была выведена в предположении упругих деформаций, когда

                                                .                                        (2.11)

       Для одинаковых закреплений в двух главных плоскостях нужно брать минимальный момент инерции Imin.

       Здесь введено обозначение минимального радиуса инерции

       Обычно вводится понятие максимальной гибкости стержня

                                                                                       (2.12)

       Гибкость величины геометрическая. Теперь можно записать

                                                                                       (2.13)

       Таким образом, формулу Эйлера для величины критической силы можно применить, если

Отсюда можно найти условия для

                                                                               (2.14)

Введем обозначение для предельной гибкости

                                                                               (2.15)

Эта величина зависит от физических свойств материала стержня. Условие (2.14) перепишем в виде

                                               .                                (2.16)

       Окончательно, если наибольшая гибкость больше предельной для данного материала, то стержень будет терять устойчивость при напряжениях меньше предела пропорциональности , а если условие (2.14) не удовлетворяется и , то стержень будет терять устойчивость при упруго-пластических деформациях, для которых дифференциальное уравнение (2.1) будет несправедливо.

       В этом случае для критической силы применяется эмпирическая формула Ясинского-Тетмайера

                                                                               (2.17)

где а и в – коэффициенты, зависящие от материала и приводимые в справочниках.

       При этом                                                                (2.18)

       Таким образом, критические напряжения в любой стадии деформации зависят от гибкости

                                               :                                (2.19)

в упругой – по формуле (2.13) - гипербола Эйлера, в упруго-пластической – по формуле (2.18) – прямая Ясинского.

При некотором значении гибкости, которое можно обозначить через л0 ,  величина критических напряжений становится равной предельному напряжению сжатия (либо пределу текучести, либо пределу прочности). Это значение гибкости будет границей применимости формулы Ясинского. Таким образом, критические напряжения вычисляют по формуле Ясинского тогда, когда гибкость стержня меньше лпред,  но не ниже л0.