Сопротивление материалов (стр. 29 )

                                                       .                                (3.13)

       Поэтому вместо (3.12) будем рассматривать дифференциальное уравнение для динамической части прогиба        

                                                                               (3.14)

или

                                                                       (3.15)

       Обозначим                                                                 (3.16)

тогда получим дифференциальное уравнение динамического прогиба балки как системы с одной степенью свободы без учета сил сопротивления

                                                                               (3.17)

       Это  линейное  дифференциальное уравнение второго порядка с известной правой частью.

       В математике доказывается, что решение такого уравнения ищется в виде суммы общего решения однородного дифференциального уравнения

                                                                               (3.18)

и частного решения уравнения (3.17).

       Однородное дифференциальное уравнение (3.18) описывает так называемые свободные или собственные колебания упругой системы с одной степенью свободы.

       Свободными колебаниями называются колебания, совершаемые под действием сил инерции и сил упругого отпора – без влияния внешних сил. Свободные колебания вызываются начальными воздействиями. Например, можно медленно отодвинуть массу от положения равновесия и затем отпустить. При этом начальные условия будут иметь вид

                                                                                       (3.19)

       Можно поступить иначе – толкнуть массу. При этом массе сообщается начальная скорость V0 и начальные условия будут иметь вид

                                                                               (3.20)

       Известно, что решение уравнения (3.18) можно рассматривать в двух формах

                                                                       (3.21)

или

                                                                               (3.22)

       В той и другой форме участвуют две постоянные интегрирования (А и В) или , которые можно определить из начальных условий (3.19) или (3.20) или их комбинаций.

       Таким образом, собственные колебания (3.22) совершаются по закону синусоиды с амплитудой А1 и круговой частотой

                                                                                       (3.23)

       Известно, что функции в выражении (3.21) имеют общий период . Периодом Т колебаний называется отрезок времени (цикл) через который система приходит в то же состояние, что и в начале отрезка

       Отсюда,

                                                                                       (3.24)

                                                                                       (3.25)

       Таким образом, круговая частота собственных колебаний есть число циклов колебаний за секунд.

       Коэффициент А1 характеризует размер колебаний и носит название амплитуды колебания, - начальная  фаза колебаний.

       Найдем частное решение (3.17), учтя, что функция имеет вид (3.6).

Обозначим амплитуду возмущающей силы

                                                                                       (3.26)

       Ищем частные решения уравнения

                                                                               (3.27)

в виде                                                                                (3.28)

       Найдем производные по времени

                                                                               (3.29)

                                                                               (3.30)

и подставим (3.28), (3.29), (3.30) в (3.27)