Сопротивление материалов (стр. 19 )

МПа

       

5. Построение ядра сечения

       Для построения ядра сечения рассматриваем четыре положения касательной к контуру сечения

       а) касательная отсекает на осях отрезки:

       ; м

       Координаты граничной точки ядра сечения находим по формуле (2.4)

;

               м, имеем т.1,

б) касательная отсекает на осях отрезки:

м;

       Координаты граничной точки ядра сечения:

м;

, имеем т.2,

Для касательных , граничные точки ядра сечения располагаются симметрично найденным (соответственно т.3 и 4).

Соединив последовательно точки 1, 2, 3, 4 прямыми, получим ядро сечения

3  КОСОЙ ИЗГИБ

Задача № 9

Косым изгибом называется случай сложного сопротивления, когда плоскость действия изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных плоскостей инерции.

Косой изгиб можно рассматривать как одновременно действие двух плоских прямых изгибов в главных плоскостях инерции стержня.

Под главными плоскостями инерции понимают плоскости, проходящие через геометрическую ось бруса и главные оси инерции сечения.

Таким образом, в каждом сечении стержня балки одновременно действуют два независимых изгибающих момента , .

Для определения напряжений от каждого момента в отдельности, можно воспользоваться формулой плоского изгиба.

Согласно принципу независимости действия сил, полное напряжение будет равно сумме составляющих:

                               ;                (3.1)

по формуле (3.1) можно определить напряжение в любой точке поперечного сечения.

Для выполнения проверки на прочность необходимо найти опасное сечение по длине балки.

Опасное сечение – сечение, в котором возникают максимальные напряжения.

В опасном поперечном сечении определяют точки, где имеют место максимальные нормальные напряжения.

Опасные точки определяются с помощью нулевой линии, которая при косом изгибе проходит через центр тяжести поперечного сечения, но не совпадает с главными осями инерции.

Направление нулевой линии определяют по формуле:

                               ,                (3.2)

где         - угол между осью и нулевой линией.

Максимальные напряжения возникают в наиболее удаленных точках от нулевой прямой.

Для выполнения проверки на жесткость необходимо уметь вычислять величины прогибов.

Полный прогиб произвольного сечения равен геометрической сумме двух перемещений вдоль оси и .

                               ;                (3.3)

Направление полного прогиба определяется выражением:

                               ,                (3.4)

где         - угол между осью и направлением полного прогиба.

Перемещения и определяются методом Мора, используя правило Верещагина.

По правилу Верещагина интеграл в пределах участка равен произведению площади «» эпюры (или ) от заданной нагрузки на ординату «» эпюры (или ), от единичного силового фактора, приложенного по направлению перемещения (если определяется прогиб, то прикладывается единичная сила, если определяется угол поворота - то единичный момент)  взятую под центром тяжести площади , т. е.

                               ;                (3.5)

В частном случае, если на каком-то участке обе эпюры имеют вид трапеций, то можно воспользоваться следующим выражением:

                               ;                (3.6)

Пример 1

Консольная стальная балка нагружена силами и , направленными по главным центральным осям поперечного сечения. Необходимо построить эпюры изгибающих моментов , в главных плоскостях инерции. Для опасного сечения найти положение нулевой линии, вычислить наибольшие растягивающие и сжимающие нормальные напряжения и построить эпюру напряжений. Найти значения полного прогиба с указанием его направления в середине длины консоли.

Решение

1. Построение эпюр изгибающих моментов и

1.1. Построение эпюры изгибающих моментов (изгиб в вертикальной плоскости).

Вычисляем моменты в характерных точках:

               

               

                кНм

По полученным значениям строим эпюру изгибающих моментов

1.2. Построение эпюры изгибающих моментов (изгиб в горизонтальной плоскости).

Вычисляем моменты в характерных точках:

               

                кНм

Строим эпюру  

Очевидно, опасное сечение в заделке А.

2. Вычисление главных моментов инерции

м4

м4