Уравнения математической физики (стр. 11 )

Эту константу мы пока не знаем, но  мы  ее определим. Итак, имеем два обыкновенных дифференциальных уравнения

К какому классу относятся эти уравнения? Это ДУ второго порядка, линейные, однородные, с постоянными коэффициентами. Они решаются через характеристическое уравнение.  Для первого уравнения имеем

Пусть действительная положительная  величина и он равна Тогда действительное число,  и общее решение первого уравнения записывается в виде

Для того, чтобы найти константы и , используем граничные условия

, 

Они дают такую однородную систему уравнений

.

Определитель этой системы уравнений не равен нулю. Действительно

,

Поэтому решение этой системы тривиальное . Это означает, что никаких колебаний нет. Но на практике они есть. Значит, надо искать другую константу.

Если взять , то . Тогда граничные условия снова дают . Этот вариант также не дает колебаний. Поэтому остаётся последний вариант , и мы получаем обыкновенное дифференциальное уравнение

.

Его характеристическое уравнение имеет  вид

.

Корни являются комплексными числами

.

Поэтому решение этого дифференциального уравнения записывается так

Снова подставляем граничные условия.  Первое  дает

Отсюда следует, что , а

Займемся вторым граничным условием

.

Когда косинус обращается в ноль? Когда . Поэтому

.

После этого реально определяем первый множитель а именно  функцию

Теперь займемся вторым временным  множителем функции колебаний. Тут возникает такое дифференциальное уравнение

Решение этого ДУ дает функцию

где    и    произвольные постоянные.

После этого мы можем записать частное решение волнового уравнения колебаний стержня

.

Это и есть собственные колебания продольного стержня. Обозначим . Найдем размерность . Это размерность круговой частоты. Напомним, что есть еще и просто частота колебаний. При этом эти колебания являются продольными. Общее колебание стержня есть сумма всех отдельных гармоник (мод)

.

Начальные условия, которыми мы пока не пользовались, позволяют найти неизвестные коэффициенты    и . Это делается так. Первое начальное условие есть

Если мы подставим в общую формулу, то это дает

.

Мы получили классический ряд Фурье по нечетным функциям, коэффициенты этого ряда находятся по формуле

Второе начальное условие  имеет вид

.

Если мы подставим в общую формулу после взятия производной, то это дает

.

Мы получили второй классический ряд Фурье по нечетным функциям, коэффициенты этого ряда находятся по формуле