Уравнения математической физики (стр. 6 )

;

.

Оба эти равенства объединим одним соотношением

.

Вот этим последним равенством мы и будем пользоваться, для нахождения коэффициентов и . Рассмотрим начальное условие

Умножим его на и проинтегрируем по длине всей струны

Что мы видим в левой части этого равенства? Буква фиксирована, а буква   пробегает все возможные значения. В силу ортогональности не равно нулю только одно слагаемое в этой сумме, а именно, когда Отсюда находим конкретное выражение для

Подведем итоги. Колебания струны при первом типе возбуждения колебания (начальный изгиб струны по форме описываются формулами

Приведем конкретный пример такого возбуждения колебаний. Пусть струна в начальный момент изогнута в виде треугольника. См. рис. 5.1.

  u

  Рис. 5.1. Начальный изгиб струны.

Форма струны задается функцией

Начинаем рассчитывать колебания струны путем нахождения коэффициентов ряда Фурье

Полученные интегралы берутся по частям. Не будем приводить громоздкие промежуточные расчеты, а  сразу дадим конечную формулу

.

Что дает эта формула? Она дает амплитуды колебательных мод струны, т. е. состав и интенсивности обертонов. Оказывается тембр струны, т. е. красота звучания струны зависит от точки , т. е. точки в которой мы отогнули струну.

Рассмотри два варианта игры на гитаре:   и  . Если мы отгибаем струну посередине, то форма струны приобретает форму равнобедренного треугольника. См рис.5.2.

Рис. 5.2. Изгиб – равнобедренный треугольник

Какие же моды не равны нулю? При имеем

;  = .

Это основной тон струны, форма колебаний показана на рис. 5.3. Изгиб струны имеет одну пучность по середине и два узла на концах струны.

  Рис.5.3. Основной тон колебаний струны.

При имеем отсутствие колебаний, т. к. При   имеем

.

Это первый обертон колеблющейся струны. Амплитуда в девять раз меньше амплитуды основного тона. А так как энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды, звук от этой моды будет примерно в «81» раз слабее основного тона, и частота колебаний будет в три раза больше, т. е. это более высокий звук.  Форма изгиба струны показана на рис.5.4.

  Рис.5.4. Форма колебаний с тремя пучностями и четырьмя узлами.

При имеем также отсутствие колебаний. При имеем

Это второй обертон колеблющейся струны. Амплитуда в «25» раз меньше амплитуды основного тона. А, так как энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды, звук от этой моды будет примерно  в «625» раз слабее основного тона, и частота колебаний будет в пять раза больше, т. е. это еще более высокий звук. Форма колебаний этого второго обертона показана на рис. 5.5.

  Рис. 5.5. Форма колебаний с пятью пучностями. Второй обертон.

Таким образом, при центральном отклонении струны, окраска мелодии слаба, работает фактически один обертон, с утроенной частотой и звуком почти в сто раз слабее. Отношение интенсивностей основного тона и обертонов такое 

Следующий пример связан с отклонение струны при . Форма струны имеет вид не равнобедренного треугольника. Какие же моды не равны нулю?

При имеем

; 

Это основной тон струны. Частота та же, изгиб струны тот же, одна полуволна и амплитуда колебаний немного больше предыдущего случая:   против .

При в этом случае есть колебания.