Уравнения математической физики (стр. 22 )

Если мы разделим числитель и знаменатель последней дроби на  , то получим такое уравнение

После такой подготовки мы можем перейти к рассмотрению случая с бесконечным теплообменом на обоих концах стержня, т. е. потребуем, чтобы

.

Физически бесконечный теплообмен означает, что внешняя температура среды (термостата) и температуры внутри стержня на его концах мгновенно выравниваются. Переход к предельным значениям дает в последнем уравнении такое равенство.

; .

Отсюда мы находим разрешенные значения ранее неизвестного параметра , который входит в решение задачи

Мы видим, что этот параметр принимает дискретные значения, точно такие же, как и случае с теплоизолированными концами (предыдущий параграф). Но разница в граничных условиях всё же есть. При не теплоизолированных концах, в случае бесконечного теплообмена, эти условия имеют вид,

       

.

Мы будем считать, что температура среды обоих концов стержня одинакова и равна . Этого можно добиться, как мы показывали выше, выбором новой шкалы температур. При бесконечном теплообмене внутренние температуры концов стержня мгновенно приобретают температуру  среды, т. е.  они равны нулю.

Подставляем в полученные функции координатной части общего решения левое граничное условие. Это дает

.

Отсюда следует, что левый конец сразу же выкидывает число После этого обрабатываем правый конец стержня:

Решение этого тригонометрического уравнения хорошо известно из школьной программы,

.

Итак, мы для неизвестного параметра   получили тот же результат, что и для  стержня с теплоизолированными концами. Но конечное общее решение этого случая все же другое. В ряд Фурье  вошли синусы, тогда как в теплоизолированном случае под суммой стояли косинусы. Общее решение задачи этого параграфа имеет такой вид. Тут только один набор неизвестных параметров : 

Эти неизвестные  параметры мы найдём из начального условия

Это опять разложения функции начальной температуры стержня в ряд Фурье по синусам кратных дуг. Теперь неизвестные коэффициенты  находятся по такой формуле –

Рассмотрим несколько примеров в данной ситуации. Пусть начальная температура стержня внутри него распределена по функции  (при ).

  100

  50

  0  1 м

  Рис. 19.1. Начальное распределение температуры по синусу

См.  рис. 19.1. Ясно, что в разложении в ряд Фурье останется только одно слагаемое с , и температура стержня в любой момент времени имеет вид

Это означает, что температура убывает с ростом времени подобно графику синуса по экспоненте. В качестве примера найдем время остывания такого стержня заполненного водой по центру до температуры 1. Получаем такое равенство

Теплопроводность конечного стержня с одним  теплоизолированным концом

Рассмотрим распространении тепла в конечном стержне, если левый конец теплоизолирован, а правый поддерживается при постоянной температуре:  . Смотри рис. 20.1.

Рис. 20.1. Правый конец стержня не теплоизолирован, 

Дан стержень длины , температура окружающей среды . Математическая постановка задачи выглядит так

Граничные условия записываются следующим образом

.

Поскольку координатная часть функции нами была найдена ранее в общем виде

то мы ее подставляем вначале в левое граничное условие. Получаем уравнение, из которого следует, что коэффициент тождественно равен нулю:

Далее оставшуюся часть координатной функции подставляем в правое граничное условие.

Вспоминаем, при каких условиях косинус обращается в ноль. Это дает нам дискретные значения второго неизвестного параметра . Тут

.

После этого записываем частное решение уравнения теплопроводности с обеими переменными