Уравнения математической физики (стр. 3 )

Мы умножили элемент струны  на линейную плотность струны и получили массу этого участка. Эту массу умножили на ускорение   и приравняли это произведение действующей на участок струны силе . На рис. 3.1. показан изгиб струны. В точке   проведена касательная.

  Рис. 3.1.Форма изгиба струны. Показан наибольший угол отклонения.

Мы будем изучать только малые колебания струны. Что это значит в математическом выражении? Раз отклонения от оси OX малы, то и угол отклонения касательной мал. Потому запишем    согласно ряду Маклорена для функции синуса. Отсюда следует, что . Если посмотрим на рис. 3.1, то замечаем, что . Далее попробуем рассчитать длину участка струны между близко расположенными точками . См.  рис. 3.2.

Рис. 3.2. Выделение малого участка струны.

Вспомним, как рассчитывается длина кривой линии . В этом случае надо брать криволинейный интеграл первого рода

Тут мы обнулили так как это величина второго порядка малости. Что означает полученное равенство? Оно означает то, что в нашей модели струна при изгибе не растягивается. Следующим этапом нашего повествования является расчет сил действующих на участок струны . Введем понятие силы натяжения в Ньютонах, которая действует на концы участка, см. рис. 3.3. На нем указаны силы и , действующие в разных направлениях.

 

Рис.3.3. Силы натяжения, действующие на элемент струны.

Поскольку струна не растягивается, то сумма горизонтальных сил должна быть равна нулю, т. е.

.

Отсюда следует, что Далее на струне выделим малый участок (см. рис. 3.4.),

и рассчитаем вертикальную силу, т. е. силу, направленную по оси OU. Эта сила  имеет вид

.

Так как  ,  то

.

Рис. 3.4. Направление результирующей вертикальной силы

Мы разложили первое слагаемое в квадратных скобках в ряд Маклорена по приращению и оставили только первые два слагаемые. Это дало

В результате второй закон Ньютона  для колебаний точек струны запишется так

.

Сокращаем на и вводим обозначение .  В результате получаем уравнение параболического типа для описания колебаний гитарной струны, которое называется волновым уравнением

.

Найдем размерность .  Она равна , т. е. константа имеет размерность скорости. Это не случайно. Как увидим в дальнейшем,  есть скорость распространения волны по гитарной струне.

Наше ухо не воспринимает скорость звука напрямую. Но косвенно воспринимает. Физика дает длину волны , где – период колебаний, – скорость звука. С другой стороны, период колебаний связан с частотой колебаний – размерность = Гц. Т. е. указывает число колебаний за одну секунду. Человеческое ухо воспринимает колебания воздуха в интервале от =16  Гц – граница инфразвука, до Гц – граница ультразвука.