Уравнения математической физики (стр. 13 )

Подставляем эти функции в граничные условия

.

Отсюда находим, что . Далее получаем

Отсюда находим, что и

Это равенство дает  , где  целое число. Для следующей функции получаем

Отсюда находим, что . целое число. Мы видим, что неизвестные константы определяются равенствами

Отсюда следует, что значения   и   принимают дискретный характер. Они позволяют найти собственные функции колебаний прямоугольной мембраны

После того, как мы разобрались с координатной частью уравнения колебаний прямоугольной мембраны, перейдем к временной части  уравнения. Оно имеет такой вид

.

Что это такое? Это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, однородное, линейное с постоянными коэффициентами. Оно решается опять же  с помощью характеристического  уравнения и в результате мы имеем такое его решение

Мы видим, что это периодические гармонические колебания с частотой

,

зависящей от двух целочисленных параметров   и  . Конкретная  фиксированная мода или гармоника колебаний  прямоугольной мембраны имеет вид.

Общее колебание прямоугольной мембраны состоит из суммы таких гармоник и выглядит в виде функционального ряда

Пока неизвестными тут являются параметры    и  . Можно переписать фиксированную гармонику колебаний прямоугольной мембраны в таком виде

Для нахождения коэффициентов   и  необходимо воспользоваться начальными условиями состояния мембраны. Тут возникает задача двойных рядов Фурье и нужные нам коэффициенты находятся по формулам

Рассмотрим конкретный пример. Пусть это квадратная мембрана . Начальные условия имеют вид

Что это означает реально? Перед началом колебаний упругий квадрат не искажен, но по нему ударили молоточком и придали начальную скорость   всем точкам мембраны. Видно сразу, что   и это облегчает понимание колебаний

Интегралы простые и берутся легко. В результате имеем

Из этой формулы вытекает, что, если числа   и   четные, то , т. е. никаких колебаний вообще нет. Но реально мембрана-то колеблется. Значит надо эти числа необходимо взять нечетными

После этих выкладок мы получаем конкретное выражение для  коэффициентов

.

Перебирая параметры этих коэффициентов мы получаем различные стоячие волны на мембране. Тут также есть основной тон и есть обертоны. Если , то мы получаем основной тон колебаний. Тут мембрана целиком выгибается вверх и вниз. Смотри рис. 10.2.a.  Если или наоборот , то мы получаем  колебание, показанное на рис. 10.2.b;c.  Если , то мы получаем  колебание, показанное на рис. 10.2.d. 

  a)  b)

  c)  d)

Рис. 10.2. Моды колебаний прямоугольной мембраны.

В трехмерном  виде расчет прямоугольной мембраны показан на рис. 10.3.

Рис. 10.3. Трехмерный расчет колебаний мембраны.

Расчет  колебаний мембраны имеет большое практическое значение для анализа работы барабанной перепонки в ухе человека и животных. На рис. 10.4. показан спектр речи человека и устройство уха.

Рис. 10.4. Спектральная характеристика человеческого голоса
и устройство уха человека.