Уравнения математической физики (стр. 5 )

Его корни являются комплексными числами

.

Общее решение имеет вид

Снова подставляем граничные условия. Левый закрепленный конец  дает

Отсюда следует, что и

Правый закрепленный конец  дает

Когда такое может быть? Когда

Нулем не может быть, так как это требует , а этот вариант мы уже отвергли. Итак, и координатная часть функции нами найдена

Мы получили в результате  бесчисленное множество решений искомой функции

.

При получаем При получаем

При получаем При получаем . Струна может изгибаться только так (см. рис. 4.1).

Рис. 4.1 Возможные типы колебаний (моды) струны.

Колебание с называется основным тоном струны. Обычно интенсивность звука этой частоты наибольшая и именно по этим частотам идет мелодия музыкальной фразы. Остальные типы колебаний, их называют и обертонами и модами, с имеют более высокие частоты ;… и у гитары более низкую интенсивностью звука.  Мы их тоже слышим. Набор обертонов играет очень важную роль в звуке струны. Он придает струне характерный тембр и окраску. Именно набор обертонов отличает скрипку Страдивари от других менее качественных инструментов. Далее мы еще вернемся к обертонам.

После этого результата обратимся ко второму временному обыкновенному дифференциальному уравнению

;

Решение этого дифференциального уравнения следующее

Тут    и  пока  произвольные постоянные. После этого мы можем записать частное решение волнового уравнения колебаний закрепленной струны

.

Это есть собственные колебания струны. Обозначим . Найдем размерность . Это размерность круговой частоты.  Итак, у нас есть просто частота колебаний   и круговая частота .  – период колебаний. Запишем частное решение волнового уравнения через частоты колебаний

.

Общее решение колебаний струны с закрепленными концами есть сумма этих частных решений

Мы получили бесконечную сумму функций, т. е. функциональный ряд. Надо найти, входящие в него коэффициенты и . Для этого нам понадобятся начальные условия, т. е. начальный изгиб струны и начальные скорости точек струны. Ранее мы их задали.

§ 5. Деформационное возбуждение струны.

Рассмотрим возбуждение колебаний за счет только деформации, т. е. только за счет изгиба струны. На практике это обозначает, что мы подцепили струну пальцем, немного изогнули, придали форму изгиба и отпустили. При этом начальные скорости точек струны равны нулю.  Начальные условия задачи записываются так

В начальный момент времени имеем такое равенство

Это ряд Фурье по синусам кратных дуг. Для синусов существуют такие интегралы нормировки и ортогональности