Уравнения математической физики (стр. 24 )

В старой шкале температур это условие записывалось так

.

Далее введем новую функцию  и продифференцируем ее по времени и по радиусу 

;

; 

В результате получаем дифференциальное уравнение, которое рассматривали в случае стержней,

с такими начальными

и граничными условиями

Такую задачу мы уже решали. Это теплопроводность стержня длиной    с постоянной температурой на концах, т. е. с коэффициентами теплообмена на обоих концах равными бесконечности  (см. §19). Общее решение задачи записывается так

После возврата в шкалу температур получаем

.

Коэффициенты  рассчитываются по формуле

.

Рассчитаем эти коэффициенты при 

.

Далее перейдем к пределу   в формуле для , т. е. к температуре в центре шара,

Так мы нашли формулу для динамики температуры в центре шара. Берем    примерный размер среднего клубня картофеля. Это дает

В новой шкале температур картофель нагревается от начальной температуры до температуры кипящей воды Когда температура в центре клубня достигнет  ? Составляем уравнение

Далее выбираем параметры задачи. Пусть   , средний размер клубня картофеля,- температуропроводность овоща. Она немного больше, чем у воды. Подставляем эти параметры в формулу для времени и находим

Мы это время хорошо знаем, это время варки картофеля. Таким образом, теория теплопроводности позволяет решать как технологические, так и бытовые задачи.

§ 22. Задачи диффузии

Поскольку мы научились решать задачи теплопроводности различных сред, то можем решать и другие задачи, приводящие к такому же дифференциальному уравнению. Таких задач довольно много, и мы сейчас рассмотрим вопросы диффузии газов, жидкостей и твердых тел. Этот процесс состоит в том, что разнородные среды, будучи приведенными в контакт начинают перемешиваться, проникать друг в друга и этот процесс заканчивается, когда наступает равновесие сред. Скорость диффузии разная. В газах она происходит почти мгновенно, в жидкостях помедленнее, а в твердых телах, времена исчисляются столетиями. Рассмотрим простейшие задачи.

Вначале введем понятие концентрации вещества

.

Это количество атомов, молекул, кластеров или других взвешенных частиц в единице объема. Само уравнение диффузии выглядит в трехмерном пространстве как и уравнение теплопроводности

.

положительная величина, она называется коэффициентом диффузии. Этот коэффициент играет роль коэффициента температуропроводности в уравнении теплопроводности. При решении этого дифференциального уравнения в частных производных определяющую роль играют граничные и начальные условия. Граничное условие записывается в виде

где  начальная концентрация вещества перед началом диффузионного процесса. Граничные условия похожи на граничные условия в задачах теплопроводности ( граница области) и выглядят так – два варианта:

Первое равенство говорит о том, но границе двух сред стоит непроницаемая перегородка и молекулы вещества через нее не проходят. Второй равенство говорит о том, препятствий для диффузии нет, и концентрация рассматриваемого вещества на границе   одни и та же по обе стороны.

Рассмотрим одномерную задачу. Имеется длинная тонкая трубочка с открытыми или закрытыми концами. Уравнение диффузии имеет вид

.

Начальное условие запишется так

Если заглушек на концах трубочки нет, то граничные условия задачи имеют вид

Это указывает на мгновенное выравнивание концентраций разных сред на границе, через которую идет диффузия.

Такую задачу мы решали. Это случай цилиндра с бесконечным теплообменом на правом и на левом конце, см § 19. Решение задачи в математическом смысле ничем не различается, и окончательный результат имеет вид