Уравнения математической физики (стр. 19 )

Рис. 16.1. Прямоугольный температурный импульс

Начальное условие задачи имеет вид

.

Для того, чтобы найти значение температуры в произвольной точке бесконечного стержня и в произвольный момент времени, надо сложить все частные решения. А так как их бесконечное количество, то тут надо проинтегрировать фундаментальное решение. В результате получаем

.

Этот интеграл аналитически не берется. Он попадается в разных разделах математики, например, в теории вероятностей и называется или интеграл ошибок или интеграл вероятности. Если мы введем новую переменную 

,

и найдем дифференциал этой новой переменной

то уравнение для нахождения температуры во всех точках стержня и в любой момент времени преобразуется к виду

.

Рассмотрим свойства функции ошибок или интеграла вероятноти  (это разные названия одной и той же функции), СМ. РИС. 16.2

.

Рис. 16.2. Качественный график функции ошибок

Это нечетная, монотонно возрастающая функция, в нуле она равна нулю, при стремлении она стремится к асимптотам . На рис. 16.3. показан количественный график функции ошибок.

Рис. 16.3. Количественный график функции ошибок 

Рассмотрим пример на применение этой формулы. Пусть бесконечный стержень из серебра на интервале нагрет до . За пределами этого интервала температура стержня есть . Найдем температуру в зависимости от времени в точке Поскольку , то . Все расчеты приведены в таблице 16.1. 

Таблица 16.1. Расчет остывания стержня из серебра

t, сек	t, мин						T(1м;t),
1000	16,66	1,348	1,102	0,944	0,880	0,064	3,30
2000	33,33	0,953	0,779	0,821	0,730	0,091	4,55
3000	50,00	0,778	0,636	0,730	0,634	0,096	4,80
4000	66,66	0,674	0,551	0,656	0,536	0,120	6,00
5000	83,32	0,602	0,492	0,6040	0,511	0,093	4,65
6000	100,00	0,550	0,450	0,563	0,475	0,088	4,40
7000	116,66	0,509	0,416	0,529	0,447	0,082	4,10
8000	133,33	0,477	0,390	0,4952	0,419	0,076	3,75
9000	150,00	0,449	0,367	0,475	0,400	0,075	3,75
10000	166,66	0,426	0,348	0,455	0,380	0,075	3,75

Коэффициент температуропроводности в разных учебниках записывается по разному. В книге и «Уравнения математической физики»  под этим словосочетанием понимается коэффициент , имеющий размерность   , а во всех остальных учебниках, справочниках и монографиях под коэффициентом температуропроводности  понимеется коэффициеент имеющий размерность  Мы в дальнейшем будем пользоваться именно вторым определением. Приведем в табл. 16.2 значения для различных веществ.

Таблица 16.2. Значения коэффициентов

температуропроводности    различных сред

Температуропроводность различных сред	(м?/с)
Воздух (300 K)	1.9 ? 10?5
Al-5Mg-2Si-Mn (Magsimal-59) at 20 °C	44.0 ? 10?6
Этиловый спирт	7 ? 10?8
Алюминий	8.418 ? 10?5
Оксид алюминия	1.20 ? 10?5
Аргон (23°С, 1 атм)	2.2?10?5
Кирпич керамический	5.2 ? 10?7
Углерод (композит) at 25 °C	2.165 ? 10?4
Медь at 25 °C	1.11 ? 10?4
Стекло, оконное	3.4 ? 10?7
Золото	1.27 ? 10?4
Водород (23°С, 1 атм)	1.6?10?4
Инконель 600 (25 °C)	3.428 ? 10?6
Железо	2.3 ? 10?5
Молибден (99.95 %) (25 °C)	54.3 ? 10?6
Нейлон	9 ? 10?8
Моторное масло (100 °C)	7.38 ? 10?8
Парафин (25 °C)	0.081 ? 10?6
ПВХ (поливинилхлорид)	8 ? 10?8
Пиролитический графит, normal to layers	3.6 ? 10?6
Пиролитический графит, parallel to layers	1.22 ? 10?3
Кварц	1.4 ? 10?6
Резина	0.89 — 1,3 ? 10?7
Песчаник	1.12-1.19 ? 10?6
Si3 N4 с карбоновыми нанотрубками (26 °C)	9.142 ? 10?6
Кремний	8.8 ? 10?5
Диоксид кремния (кварц)	8.3 ? 10?7
Серебро (99.9 %)	1.6563 ? 10?4
Сталь, 1 % углерода	1.172 ? 10?5
Вода (25 °C)	0.143 ? 10?6
Водяной пар (1 атм, 400 K)	2.338 ? 10?5
Дерево (Жёлтая сосна)	8.2 ? 10?8

Теплопроводность конечного стержня